第二章 4.2 简单幂函数的图象和性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

4.2　简单幂函数的图象和性质 　 第 二 章 §4　函数的奇偶性与简单的幂函数 学习目标 1.了解幂函数的概念．2.通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝ x3，y＝x－1，y＝ 的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质．3.结合幂函数的性质，能利用数形结合的方法解决与幂函数相关的问题． 课 时 精 练 知识点二　简单幂函数的图象 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　幂函数的概念 知识点四　直线的倾斜角 知识点三　简单幂函数的性质 内 容 索 引 知识点一　幂函数的概念 索引 下面几个实例，观察它们得出的函数解析式，有什么共同特征？ (1)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数； 提示：S＝a2； (2)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c＝ ，这里c是S的函数； 提示：c＝ (3)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v＝ km/s，即v＝t－1，这里v是t的函数． 提示：v＝t－1.这些解析式都是幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数为常数． 问题导思 幂函数的概念 一般地，形如________(α为常数)的函数，即______________、____________的函数称为________． 新知形成 y＝xα 底数是自变量 指数是常数 幂函数 幂函数的特征： (1)自变量前的系数为1；幂的系数为1. (2)xα的底数是自变量x，指数α为常数． (3)幂函数的定义域与α有关． 微提醒 　　　(1)(多选)下列函数中是幂函数的是 幂函数是形如y＝xα(α为常数)的函数，A是α＝－1的情形，D是α＝ 的情形，所以A和D都是幂函数；B中x2的系数是2，不是幂函数；易知C不是幂函数．故选AD. 例1 √ √ (2)(多选)(2023·广东茂名高一期末)若函数y＝(k2－k－5)x2是幂函数，则实数k的值可能是 A．k＝3 B．k＝－3 C．k＝－2 D．k＝2 因为函数y＝(k2－k－5)x2是幂函数，所以k2－k－5＝1，解得k＝－2或k＝3.故选AC. √ √ 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需要满足： (1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 方法技巧 √ 即时练2．(2023·上海浦东新区测试)已知m为常数，函数y＝(2m2＋m－ 2)x2m＋1为幂函数，则m的值为________． 因为函数y＝(2m2＋m－2)x2m＋1为幂函数，则2m2＋m－2＝1，即2m2＋m－3＝0，解得m＝－ 或m＝1. 索引 知识点二　简单幂函数的图象 索引 请回答以下问题： 1．根据所学的二次函数、一次函数、反比例函数，我们应该从哪些方面来研究幂函数？ 提示：根据函数解析式先求出函数的定义域，然后画出函数的图象，再利用图象和解析式研究函数的单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等问题． 问题导思 2．你能在同一坐标系中作出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ 的图象吗？ 提示： 简单幂函数的图象 新知形成 例2-1 √ (1)f(x)＞g(x)； 所以f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象， 如图所示．由图象知， 当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)＞g(x)； 例2-2 (2)f(x)＝g(x)； 所以f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象， 如图所示．由图象知， 当x＝1时，f(x)＝g(x)； (3)f(x)＜g(x)． 所以f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象， 如图所示．由图象知， 当x∈(0，1)时，f(x)＜g(x)． 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 1．依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． 2．依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内 方法技巧 √ 即时练4．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点 ，求函数的解析式，并作出该函数图象的草图，判断该函数的奇偶性和单调性． 因为幂函数f(x)＝xα的图象经过点 ，故可得3α＝ ，解得α＝－2， 故f(x)＝x－2，其定义域为{x|x≠0}，关于原点对称；其函数图象如下图所示： 由数形结合可知，因为f(x)的图象关于y轴对称，故其为偶函数；且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增． 索引 知识点三　简单幂函数的性质 索引 结合图中的五个函数图象回答问题： (1)哪几个是偶函数，哪几个是奇