第二章 4.1 第2课时 函数奇偶性的应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

第2课时　函数奇偶性的应用 　 第 二 章 4.1　函数的奇偶性 学习目标 1.进一步理解函数奇偶性和单调性的概念．2.理解奇偶性对单调性的影响，并能用来解决比较大小、求最值、解不等式等问题． 课 时 精 练 知识点二　函数奇偶性与单调性的应用 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　利用函数的奇偶性求函数解析式 内 容 索 引 知识点一　利用函数的奇偶性求函数解析式 索引 如果函数f(x)和g(x)都是奇函数， 问题导思 提示：如果函数f(x)和g(x)都是奇函数，那么 f(x)＋g(x)，f(x)－g(x)均为奇函数， 关于奇偶函数的几个性质 1．两个奇函数的和(差)仍是________，两个偶函数的和(差)仍是________． 2．奇偶性相同的两个函数的积(商，分母不为零)为________；奇偶性相反的两个函数的积(商，分母不为零)为________． 3．如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，则_________. 4．如果函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|)． 新知形成 奇函数 偶函数 偶函数 奇函数 f(0)＝0 　　　若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式． 当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3， 由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)， 所以f(x)＝－x2－2x－3. 即当x＜0时，f(x)＝－x2－2x－3. 因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0. 例1-1 (变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求当x＜0时，函数f(x)的解析式． 当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，因为函数f(x)是偶函数， 所以f(x)＝f(－x)，所以f(x)＝x2＋2x＋3，即当x＜0时，f(x)＝x2＋2x＋3. 变式探究 　　　设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x＋x2，求函数f(x)，g(x)的解析式． 因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， 所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， 在f(x)＋g(x)＝2x＋x2中，① 用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2， 所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2，② (①＋②)÷2，得f(x)＝x2. (①－②)÷2，得g(x)＝2x. 所以f(x)＝x2，g(x)＝2x. 例1-2 利用函数奇偶性求函数解析式的步骤 第一步：“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设； 第二步：转化到已知区间上，代入已知的解析式； 第三步：利用f(x) 的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 方法技巧 即时练1．若函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则当x＜0时，f(x)＝ A．－x(1＋x) B．－x(1－x) C．x(1＋x) D．x(1－x) 当x＜0时，－x＞0，由奇函数的定义可得f(x)＝－f(－x)＝－(－x)(1－x)＝x(1－x)．故选D. √ 即时练2．已知f(x)是R上的偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x)，求f(x)的解析式． 因为当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，所以f(－x)＝－x[1＋(－x)]＝x(x－1)． 因为f(x)是R上的偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝x(x－1)，x∈(－∞，0)． 索引 知识点二　函数奇偶性与单调性的应用 索引 想一想奇函数与偶函数的图象特点，如果奇函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性如何？如果偶函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性如何？ 提示：奇函数在(1，2)上单调递减，偶函数在(1，2)上单调递增． 问题导思 1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a＜b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上__________，即在对称区间上单调性____________． 2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a＜b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上__________，即在对称区间上单调性______． 3．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a＜b)上有最大值为M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值为______． 4．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a＜b)上有最大值为N，则f(x)在[－b，－a]上有最大值为____． 以上a，b符号相同． 新知形成 单调递增 一致(相同) 单调递减 相反 －M N 　　　(1)已知定义在[2a－1，3a]上的奇函数f(x)＝x3＋(2b－1)x2＋x＋(2a－c)，则f(a)，f