第二章 4.1 第1课时 函数的奇偶性-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

第1课时　函数的奇偶性 　 第 二 章 4.1　函数的奇偶性 学习目标 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义．2.能根据函数奇偶性的概念判断函数的奇偶性，能运用函数的奇偶性解决一些简单问题． 课 时 精 练 知识点二　奇、偶函数图象的特征及应用 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　函数奇偶性的概念与判断 内 容 索 引 知识点一　函数奇偶性的概念与判断 索引 请回答以下问题： 1．观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 提示：这两个函数图象都关于y轴对称． 问题导思 2．观察函数f(x)＝x和g(x)＝ 的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 提示：两个函数的图象都关于原点成中心对称． 奇函数、偶函数的定义 新知形成 当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有________． －f(x) f(x) 原点 奇偶性 若函数的定义域关于原点对称，满足f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则函数f(x)既是奇函数也是偶函数；若函数的定义域不关于原点对称，则函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． 微提醒 　　　(链接教材P67例2)根据定义，判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝2－|x|； 因为函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数． 例1 因为函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又因为f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，所以f(x)既是奇函数又是偶函数． 因为函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数． f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)． 综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)， 所以f(x)为偶函数． 判断函数奇偶性的两种方法 1．定义法 方法技巧 2．图象法 注意：　对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式． 方法技巧 即时练1．根据定义，判断下列函数的奇偶性： 因为f(x)的定义域为{x|x≠－2}，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数． 且f(x)＝0，则f(x)既是奇函数又是偶函数． 因为函数f(x)的定义域为R，所以函数f(x)的定义域关于原点对称． ①当x＞1时，－x＜－1，所以f(－x)＝(－2)×(－x)＝2x＝f(x)； ②当－1≤x≤1时，－1≤－x≤1， 所以f(－x)＝f(x)＝2； ③当x＜－1时，－x＞1，所以f(－x)＝2×(－x)＝－2x＝f(x)． 综上，可知函数f(x)为偶函数． 索引 知识点二　奇、偶函数图象的特征及应用 索引 观察下面两个函数图象，说明它们的奇偶性与对应图象有什么对称规律？ 提示：函数y＝x是奇函数，图象关于原点对称；函数y＝x2是偶函数，图象关于y轴对称． 问题导思 1．奇函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称；反之，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数． 2．偶函数的图象特征 偶函数的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数． 新知形成 　　　定义在R上的奇函数y＝f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示． (1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象； 先描出(1，1)，(2，0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2，0)，连线可得f(x)的图象如图． 例2 (2)解不等式xf(x)＞0. xf(x)＞0，即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)＞0的解集是(－2，0)∪(0，2)． (变条件)把本例中的“奇函数”改为“偶函数”， (1)画出函数f(x)的图象； f(x)的图象如图所示． 变式探究 (2)解不等式xf(x)＞0. xf(x)＞0的解集是(－∞，－2)∪(0，2)． 巧用奇偶性作函数图象的步骤 第一步：确定函数的奇偶性； 第二步：作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象； 第三步：根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象． 方法技巧 即时练2．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示． (1)请补出函数y＝f(x)的完整图象； 由题意补全函数图象如图： (2)根据图象写出函数y＝f(x)的递增区间； 据图可知，单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞)． (3)根据图象写出使y＝f(x)＜0的x的