第二章 3 第2课时 函数的单调性和最值的应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

第2课时　函数的单调性和最值的应用 　 第 二 章 §3　函数的单调性和最值 学习目标 1.掌握函数单调性的定义证明或判断函数的单调性．2.会利用函数的单调性解决求最值、解不等式、比较大小等问题． 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 内 容 索 引 综　合　应　用 索引 应用一　判断函数的单调性 例1 利用定义证明函数单调性的四个步骤 方法技巧 即时练1．证明函数f(x)＝x＋ 在(0，1)上是减函数． 设x1，x2是区间(0，1)上的任意两个实数，且x1＜x2， 因为0＜x1＜x2＜1， 所以x1－x2＜0，0＜x1x2＜1，则－1＋x1x2＜0， 应用二　利用函数的单调性求最值 (1)判断函数f(x)的单调性； 例2 因为x1，x2∈[3，5]，所以x1＋2＞0，x2＋2＞0， 因为x1＜x2，所以x1－x2＜0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 所以函数f(x)在[3，5]上单调递增． (2)求函数f(x)的最大值和最小值． 函数的最大(小)值与单调性的关系 1．若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)． 2．若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，在区间[b，c]上单调递减(增)，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个． 方法技巧 设x1，x2是[2，4]上任意两个实数，且x1＜x2， 因为2≤x1＜x2≤4，所以x1－x2＜0，1－x1＜0，1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)在[2，4]上是增函数，所以f(x)的最大值为f(4)＝1，f(x)的最小值为f(2)＝－3. 应用三　利用函数的单调性比较大小、求参数的范围 例3-1 √ 例3-2 任取0＜x1＜x2， 1．利用单调性比较大小或解不等式的方法 在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． 2．已知函数的单调性求参数的取值范围的一般方法 (1)将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的取值范围； (2)运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，解不等式(组)求出参数的取值范围． 方法技巧 √ 即时练4．已知函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2.若f(x)的减区间为(－∞，4)，则 实数a的值为______；若f(x)在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a的取值 范围为________． 索引 索引 1．如果函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是 A．a≥5 B．a≤5 C．a≤－3 D．a≥－3 因为函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调减区间为(－∞，1－a]，又函数f(x)在区间(－∞，4]上是减函数，则(－∞，4]⊆(－∞，1－a]，则1－a≥4，解得：a≤－3.故选C. √ 2．已知函数f(x)是R上的增函数，那么 A．f(3)＞f(2)＞f(1) B．f(3)＞f(1)＞f(2) C．f(1)＞f(2)＞f(3) D．f(2)＞f(3)＞f(1) 因为函数f(x)是R上的增函数，3＞2＞1， 故f(3)＞f(2)＞f(1)．故选A. √ 3．已知正比例函数y＝(3k－1)x，若y随x的增大而增大，则k的取值范围是 A．k＜0 B．k＞0 因为正比例函数y＝(3k－1)x，y随x的增大而增大，所以3k－1＞0，解得k＞ .故选D. √ 4．函数y＝f(x)在R上为减函数，且f(2m)＞f(－m＋9)，则实数m的取值范围是 A．(－∞，3) B．(0，＋∞) C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞) 因为函数y＝f(x)在R上是减函数，且f(2m)＞f(－m＋9)，所以由函数单调性的定义可知，2m＜－m＋9，解得m＜3，所以实数m的取值范围是(－∞，3)．故选A. √ (1)求函数f(x)的解析式； (2)判断函数在区间(0，＋∞)上的单调性并用定义法加以证明． 函数在区间(0，＋∞)上单调递增，证明如下： 任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2， 因为x2＞x1＞0，所以x2－x1＞0，x1x2＞0； 所以f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)， 所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增． 索引 课　时　精　练 索引 基础达标 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2．已知对f(x)定义域内的任意实数x1，x2，且x1