第一章 第4节 培优微课3 破解不等式“恒定立”与“能成立”问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

培优微课3　破解不等式“恒定立” 与“能成立”问题 　 第 一 章 §4　一元二次函数与一元二次不等式 在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理，数学运算等素养． 类型一　“Δ”法解决恒成立问题 　　　(1)若关于x的不等式ax2－2ax－2＜0恒成立，则实数a的取值范围为 A．[－2，0] B．(－2，0 C．(－2，0) D．(－∞，－2)∪(0，＋∞) 例1 √ A．(1，3) B．(－∞，1) C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(3，＋∞) √ 1．如图①一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴上方⇔ymin＞0⇔ 2．如图②一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴下方⇔ymax＜0⇔ 方法技巧 即时练1.若集合A＝{x|ax2－ax＋1≤0}＝∅，则实数a的取值集合为 A．{a|0＜a＜4} B．{a|0≤a＜4} C．{a|0＜a≤4} D．{a|0≤a≤4} √ 即时练2.已知关于x的不等式ax2＋4ax－3＜0. (1)若不等式的解集为{x|x＜－3或x＞－1}，求a的值； 当a＝0时，不等式化为－3＜0，解集为R，不合题意，舍去； 当a≠0时，因为一元二次不等式ax2＋4ax－3＜0的解集为{x|x＜－3或x＞－1}， 所以－3，－1是相应方程ax2＋4ax－3＝0的两根，且a＜0. (2)若不等式的解集是R，求a的取值范围． 当a＝0时，不等式化为－3＜0，在R上恒成立，符合题意； 若a≠0，由关于x的一元二次不等式ax2＋4ax－3＜0的解集为R， 类型二　数形结合法解决恒成立问题 　　 当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，求m的取值范围． 令y＝x2＋mx＋4. 因为y＜0在[1，2]上恒成立． 所以x2＋mx＋4＝0的根一个小于1，另一个大于2.     所以m的取值范围是{m|m＜－5}． 例2 　　结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴，区间端点的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系求解．可结合相应一元二次方程根的分布解决问题． 方法技巧 即时练3.已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0，3]恒成立，则有 A．m≤－4 B．m≥－3 C．－3≤m＜0 D．－4≤m＜0 因为关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0，3]恒成立，所以m≤(x2－4x)min， 令y＝x2－4x＝(x－2)2－4，x∈(0，3]，所以当x＝2时，y＝x2－4x取得最小值－4，所以m≤－4.故选A. √ 类型三　分离参数法解决恒成立问题 　　 (1)若不等式x2＋ax＋1≥0在x∈[－2，0)时恒成立，则实数a的最大值为 A．0 B．2 C． D．3 √ 例3 (2)已知函数y＝x2－(a＋1)x＋a. ①当a＝2时，求关于x的不等式y＞0的解集； ②若y＋2x≥0在区间(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围． ①当a＝2时，则y＝x2－3x＋2，由y＞0，得x2－3x＋2＞0， 令x2－3x＋2＝0，解得x＝1或x＝2. 所以原不等式的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞)． 　　通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题．结合基本不等式，求出函数的最值，可得参数的取值范围． 方法技巧 即时练4.(1)若对任意的x∈[－1，0]，－2x2＋4x＋2＋m≥0恒成立，则m的取值范围是 A．[4，＋∞) B．[2，＋∞) C．(－∞，4] D．(－∞，2 因为对任意的x∈[－1，0]，－2x2＋4x＋2＋m≥0恒成立，所以对任意的x∈[－1，0]，m≥2x2－4x－2恒成立，因为当x∈[－1，0]时，y＝2(x－1)2－4∈[－2，4]，所以m≥(2x2－4x－2)max＝4，x∈[－1，0]，即m的取值范围是[4，＋∞)．故选A. √ (2)若函数y＝x2＋ax＋1，当x∈ 时恒有y＞0，则实数a的取值范围为________． 当x＝0时，y＝1＞0恒成立，此时a∈R； a＞－2 类型四　主参换位法解决恒成立问题 　　　(1)已知a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为___________________. a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立， 即a∈[－1，1]，不等式(x－2)a＋x2－4x＋4＞0恒成立， 设y＝(x－2)a＋x2