专题03 一元二次不等式含参分类讨论（高效培优专项训练）数学北师大版高一必修第一册

**基本信息** 聚焦一元二次不等式含参分类讨论，通过三类核心题型系统构建含参问题的逻辑推理与运算体系，培养分类讨论思想与逆向思维能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |根的大小关系含参|5题|参数影响根的大小比较，需分类讨论根的顺序|从方程根的概念到不等式解集，体现参数对根的影响及分类讨论的必要性| |给定区间恒成立/存在性含参|5题|结合函数在区间上的最值，确定参数范围|建立函数模型与不等式的联系，发展运算能力与模型意识| |由解确定参数|5题|已知解集反求参数，考查根与系数关系|逆向应用不等式解集与方程根的关系，培养推理能力与严谨思维|

专题03 一元二次不等式含参分类讨论 题型一 根的大小关系含参 题型二 给定区间恒成立 / 存在性含参问题 题型三 由一元二次不等式的解确定参数 题型一 根的大小关系含参 1．若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由参数范围知，根据一元二次不等式的解法，求解集即可. 【详解】由知：， 由题意，知：，可得. 故选：B 2．若，不等式的解集是（    ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】A 【分析】将转化为，比较两根，即可得解集. 【详解】原不等式可转化为， 因为，故， 所以原不等式解集是：. 故选：A 【点睛】本题主要考查了含参数的一元二次不等式的解法，属于基础题. 3．若不等式的解集为或，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解集求得的取值范围. 【详解】依题意，不等式的解集为或， 所以，，， ，所以的取值范围是. 故选：D 4．求下列关于的不等式的解集： (1) (2)求关于的不等式的解集 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）根据绝对值不等式运算求解；（2）根据一元二次不等式结合分类讨论运算求解. 【详解】（1）∵，则，即 ∴不等式的解集为 （2），即 令，则 当，即时，原不等式解集为或 当，即时，原不等式解集为 当，即时，原不等式解集为或 5．求下列关于的不等式的解集： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）答案不唯一，详见解析. 【分析】（1）利用零点分段法来求得不等式的解集. （2）对分类讨论来求得不等式的解集. 【详解】（1）当时，不等式为. 当时，不等式为， 所以不等式的解集为. （2）当时，不等式为. 当时，由解得. 当时，不等式的解集为， 当时， 不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为. 6．解不等式． 【答案】当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，不等式的解集为 【分析】分、及进行讨论，结合一元二次不等式解法计算即可得. 【详解】原不等式可化为， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式可化为， 则当时，不等式可化为，解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，不等式可化为， 则不等式的解集为． 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 题型二 给定区间恒成立 / 存在性含参问题 1．已知函数. （1）解关于x的不等式； （2）若对，都有成立，求a的最大值. 【答案】（1）见详解；（2）. 【解析】（1）先将所求不等式化为，分别讨论，，三种情况，即可求出不等式的解集； （2）先令，题中条件等价于，都有成立；结合二次函数的性质列出不等式组求解，即可得出结果. 【详解】（1）由可得，即， 当时，解不等式可得； 当时，不等式可化为，无解； 当时，解不等式可得； 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； （2）令，则是开口向上，对称轴为的二次函数， 因为，都有成立，等价于，都有成立； 则有或或， 即或或， 解得； 所以a的最大值为. 【点睛】方法点睛： 求解由一元二次不等式在给定区间恒成立求参数的问题时，常用的方法有： （1）根据不等式构造二次函数，结合二次函数的性质，列出不等式组，求解即可； （2）根据不等式分离出所求参数，构造新的函数，根据函数的性质求出新函数的最值，即可求解. 2．已知二次函数. (1)当时，解不等式； (2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入后，利用因式分解法解不等式即可； （2）利用参变分离法，结合基本不等即可得解. 【详解】（1）当时，， 所以由，得，即，解得， 所以的解集为． （2）因为当时，不等式恒成立， 即，即在上恒成立， 而，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即实数a的取值范围是． 3．已知函数 (1)当时，求不等式的解集； (2)若，不等式恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式． 【答案】(1) (2) (3) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【分析】（1）转化为不含参数的一元二次不等式求解. （2）转化为在给定区间上，二次不等式恒成立的问题，再结合分离参数法，求参数的取值范围. （3）分类讨论，解含参数的一元二次不等式. 【详解】（1）当时，或. 所以不等式的解集为. （2），因为，所以，. 问题转化为，. 设，则二次函数，对称轴为， 所以在上单调递减，所以. 所以.. 即的取值范围为. （3）即. 当时，不等式可化为：，解得； 当时，不等式可化为：. 若即时，解得； 若即时，不等式无解； 若即时，解得. 当时，不等式可化为，解得或. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 4．已知函数 (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解、根与系数关系求得. （2）利用分离常数法，结合基本不等式求得的取值范围. 【详解】（1）原不等式可化为，因为该不等式的解集为， 可知的两根为和， 则，即，解得； 所以. （2）若对任意的恒成立， 则对任意的，恒成立， 即对任意的，恒成立，所以， 又因为，， 当且仅当，即时取等号，所以， 所以实数的取值范围是. 5．（1）已知关于x的不等式 对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围. （2）已知a为实数，解关于x的不等式:. 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【分析】（1）根据给定条件，按是否为0分类，再利用一元二次不等式恒成立列式求解. （2）将给定不等式两边平方化成含参数的一元二次不等式，再按对应方程根的大小分类求解. 【详解】（1）不等式 对任意实数x恒成立， 当时，恒成立，则符合题意； 当时，，解得， 所以实数m的取值范围是. （2）不等式， 则， 当，即时，； 当，即时，解得； 当，即时，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 题型三 由一元二次不等式的解确定参数 1．不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知不等式的解集得到的符号及关系，再根据一元二次不等式求解方法解不等式. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且，所以. 所以不等式可化为， 所以或. 所以不等式的解集为. 故选：A 2．关于的不等式的解集为（      ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】求出不等式对应方程的根，结合不等式和二次函数的关系，即可得到结果. 【详解】不等式对应方程的两根为， 因为，故可得， 根据二次不等式以及二次函数的关系 可得不等式的解集为或. 故选：C. 【点睛】本题考查含参二次不等式的求解，属基础题. 3．已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】BC 【分析】根据不等式的解集求得的关系式，然后对选项进行分析，结合一元二次不等式的解法求得正确答案. 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以，是方程的两根，所以， 即，，A错误； 不等式可化为， 故不等式的解集为，B正确； ，C正确； 因为，所以， 即，且，所以的解集为，D错误． 故选：BC 4．已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（   ） A．且 B．4 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】ABC 【分析】由题意，可得为一元二次方程的两个根，且，进而由韦达定理可得，即可判断A；再代入BCD求解判断即可. 【详解】由题意，为一元二次方程的两个根，且， 故，即，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由，则，即，解得，故C正确； 对于D，由，则， 即，解得或，故D错误. 故选：ABC. 5．已知不等式的解集为，则不等式的解集为________ 【答案】 【分析】先根据不等式的解集与一元二次方程根的关系，求得的值，再结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由不等式的解集为，即是方程的两个实数根， 所以，可得， 则不等式，即为，即， 化简得，解得或， 即不等式的解集为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次不等式含参分类讨论 题型一 根的大小关系含参 题型二 给定区间恒成立 / 存在性含参问题 题型三 由一元二次不等式的解确定参数 题型一 根的大小关系含参 1．若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．若，不等式的解集是（    ） A． B． C． 或 D． 或 3．若不等式的解集为或，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 4．求下列关于的不等式的解集： (1) (2)求关于的不等式的解集 5．求下列关于的不等式的解集： （1）； （2）． 33．解不等式． 题型二 给定区间恒成立 / 存在性含参问题 1．已知函数. （1）解关于x的不等式； （2）若对，都有成立，求a的最大值. 2．已知二次函数. (1)当时，解不等式； (2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围 3．已知函数 (1)当时，求不等式的解集； (2)若，不等式恒成立，求的取值范围； (3)解关于的不等式． 4．已知函数 (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 5．（1）已知关于x的不等式 对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围. （2）已知a为实数，解关于x的不等式:. 题型三 由一元二次不等式的解确定参数 1．不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．关于的不等式的解集为（      ） A． B． C．或 D． 3．已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 4．已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（   ） A．且 B．4 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 5．已知不等式的解集为，则不等式的解集为________ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $