第一章 第3节 培优微课2 应用基本不等式求最值-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

培优微课2　应用基本不等式求最值 　 第 一 章 §3　不等式 基本不等式 (a＞0，b＞0)的应用广泛，方法灵活多变，常见考查情形有连续运用基本不等式求最值、求变量的取值范围、比较大小，另外基本不等式也常和其他知识交汇考查． 类型一　直接利用基本不等式求最值 　　　(1)若x＜0，则x＋ 的最大值为 例1 当x＜0时，－x＞0， √ A．7 B．8 C．9 D．10 √ 　　首先要满足基本不等式的条件，尤其是是否能取到等号；同时应满足两个正数的“积定”或“和定”． 方法技巧 √ (2)已知x，y∈R，且x＞0，y＞0，x＋y＝2，那么xy的最大值为   C．1 D．2 根据题意，x＞0，y＞0，x＋y＝2， √ 类型二　常规配凑法求最值 A．最大值－1 B．最小值－1 C．最大值1 D．最小值1 例2 √ √ 1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2．注意验证取等条件． 方法技巧 √ 因为x＞0，y＞0且x＋y＝xy，则xy＝x＋y＞y，即有x＞1，同理y＞1， 类型三　构造不等式法求最值 　　　(1)若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的取值范围是 例3 √ (2)已知正实数x，y满足(x＋4)(y＋1)＝9，则xy的最大值等于____． 正实数x，y满足(x＋4)(y＋1)＝9，即xy＋x＋4y＝5， 1 　　在给定的等式中，一般同时含有x＋y，xy，然后根据题意利用基本不等式将x＋y，xy相互转化，从而求出最值． 方法技巧 类型四　消参法求最值 例4 √ 由正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，所以z＝x2－3xy＋4y2. (2)若正实数a，b满足b＋3a＝2ab，则 的最大值为____． 　　消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可． 方法技巧 即时练4.已知正实数a，b满足ab＋2a－2＝0，则4a＋b的最小值是 √ 类型五　“1”的代换求最值 　　 (1)已知正实数x，y满足 ＝1，则4xy－3x－6y的最小值为 A．2 B．4 C．8 D．12 例5 √ (2)已知a＞0，b＞0，6a＋ ＝1，则 ＋6b的最小值为 A．13 B．19 C．21 D．27 √ 　　1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形． 1．根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法． 2．注意验证取等条件． 方法技巧 即时练5.已知x＞0，y＞0，且 ＝1，若2x＋y＞m恒成立，则实数m的取值范围是 A．(－∞，7] B．(－∞，7) C．(－∞，9] D．(－∞，9) √ 即时练6.已知正数a，b满足ab－a－b＝0，则4a＋b的最小值为____． 9 类型六　换元法求最值 　　(1)(2023·天津南开区期末)若a＞0，b＞0，c＞0，a＋b＋c＝2，则 的最小值为________． 由a＋b＋c＝2，得2(a＋b＋c)＝4， 例6 　　若题目中含有求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是换元，分别运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．注意验证取等条件． 方法技巧 因为b＜a＜0，ab＝1，所以a－b＞0， √ 索引 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 预 备 知 识 ≤ A．－2 B．－2 C．－ D．2 所以x＋＝－≤－2＝－2(当且仅当－x＝－，即x＝－1时取等号)，所以x＋的最大值为－2.故选A. (2)若a，b都是正数，则的最小值为 因为a，b都是正数，则＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a＞0时取等号．故选C. 即时练1.(1)已知x＞0，则3x＋的最小值为 A．3 B．2 C．3 D．2 因为x＞0，所以3x＋≥2，当且仅当3x＝，即x＝时取等号．故选D. A． B． 则xy≤＝1，当且仅当x＝y＝1时等号成立，即xy的最大值为1.故选C. 　　(1)若－1＜x＜1，则y＝有 因－1＜x＜1，则0＜1－x＜2，于是得y＝－·＝－[(1－x)＋]≤－·2＝－1，当且仅当1－x＝，即x＝0时取“＝”，所以当x＝0时，y＝有最大值－1.故选A. (2)函数y＝3x＋(x＞1)的最小值是 A．4 B．2－3 C．2 D．2＋3 因为x＞1，所以y＝3(x－1)＋＋3≥2＋3＝2＋3，当且仅当3(x－1)＝，即x＝1＋时等号成立．所以函数y＝3x＋(x＞1)的最小值是2＋3.故选D. 即时练2.若x＞0，