第一章 第1节 培优微课1 与集合有关的创新问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

培优微课1　与集合有关的创新问题 　 第 一 章 §1　集合 以集合为背景的创新问题是考查创新题型的一个热点，此类问题多以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，常在创新集合定义、运算、性质等方面命题，考查考生理解问题、解决创新问题的能力． 类型一　创新集合定义 A．1 B．3 C．7 D．31 例1 √ (2)(2023·湖南常德月考)对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{y|y≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则A*B＝ A．(－3，0)∪(3，＋∞) B．[－3，0)∪(3，＋∞) C．[－3，＋∞) D．[3，＋∞) √ 由A＝{y|y≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，得A－B＝{x|x＞3}，B－A＝{x|－3≤x＜0}，所以A*B＝(A－B)∪(B－A)＝[－3，0)∪(3，＋∞)．故选B. 　　创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题，遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质；按新定义的要求，“照章办事”逐步分析、验证、运算，使问题得以解决． 方法技巧 √ 即时练2.在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合B＝{x|－3＜x＜4，x∈Z}，则A∩B的子集个数为 A．3 B．4 C．7 D．8 依题意，A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，B＝{－2，－1，0，1，2，3}，故A∩B＝{1，2，3}，故A∩B的子集个数为8.故选D. √ 类型二　创新集合运算 　　　(1)(2023·湖南长沙月考)设S是实数集R的一个非空子集，如果对于任意的a，b∈S(a与b可以相等，也可以不相等)，a＋b∈S且a－b∈S，则称S是“和谐集”．则下列命题中为假命题的是 A．存在一个集合S，它既是“和谐集”，又是有限集 B．集合{x|x＝ k，k∈Z}是“和谐集” C．若S1，S2都是“和谐集”，则S1∩S2≠∅ D．对任意两个不同的“和谐集”S1，S2，总有S1∪S2＝R 例2 √ A项中，若S＝{0}，则满足S是“和谐集”，又是有限集，故A项为真命题； C项中，根据已知条件，a，b可以相等，故任意“和谐集”中一定含有0，所以S1∩S2≠∅，故C项为真命题； D项中，S1＝{x|x＝2k，k∈Z}，S2＝{x|x＝3k，k∈Z}，S1，S2都是“和谐集”，但5不属于S1，也不属于S2，所以S1∪S2不是实数集，故D项为假命题．故选D. (2)(多选)(2023·江苏南京月考)我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁SA＝{x|x∈S且x∉A}，类似地，对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}，叫作集合A和B的差集，记作A－B，例如：A＝{1，2，3，4，5}，B＝{4，5，6，7，8}，则有A－B＝{1，2，3}，B－A＝{6，7，8}，下列解析正确的是 A．已知A＝{4，5，6，7，9}，B＝{3，5，6，8，9}，则B－A＝{3，7，8} B．如果A－B＝∅，那么A⊆B C．已知全集、集合A、集合B关系如上图中所示，则B－A＝A∩∁UB D．已知A＝{x|x＜－1或x＞3}，B＝{x|－2≤x＜4}，则A－B＝{x|x＜－2或x≥4} √ √ A：由B－A＝{x|x∈B且x∉A}，故B－A＝{3，8}，错误； B：由A－B＝{x|x∈A且x∉B}，则A－B＝∅，故A⊆B，正确； C：由韦恩图知：B－A如下图阴影部分， 所以B－A＝B∩∁UA，错误； D：∁UB＝{x|x＜－2或x≥4}，则A－B＝A∩∁UB＝{x|x＜－2或x≥4}，正确．故选BD. 　　创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的． 方法技巧 即时练3.(多选)非空集合W关于运算⊗满足：对于任意的a，b∈W，都有a⊗b∈W，则称集合W关于运算⊗为“回归集”．下列集合W关于运算⊗为“回归集”的是 A．W为N，⊗为自然数的减法 B．W为Q，⊗为有理数的乘法 C．W为R，⊗为实数的加法 D．已知全集U＝R，集合A＝Q，W为∁RA，⊗为实数的乘法 √ √ 对于A选项，若W＝N，⊗为自然