第一章 3.2 第1课时 基本不等式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

第1课时　基本不等式 　 第 一 章 3.2　基本不等式 学习目标 1.掌握均值不等式及其推导过程．2.能熟练运用基本不等式比较两实数的大小．3.能初步运用均值不等式证明不等式和求最值． 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点　基本不等式 内 容 索 引 知识点　基本不等式 索引 请回答以下问题： 1．如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，你能找到正方形ABCD的面积与四个直角三角形的面积之和的关系吗？ 提示：正方形的边长AB＝ ，故正方形的面积为a2＋b2，而四个直角三角形的面积为2ab，故有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．实际上该不等式对任意的实数a，b都能成立． 问题导思 提示：成立．证明如下： 4．如图所示，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，利用给出的数据，你能得到基本不等式吗？ 新知形成 算术平均值 如果a≥0，b≥0，_____称为a，b的算术平均值 几何平均值 如果a≥0，b≥0， ____称为a，b的几何平均值 均值不等式 设a≥0，b≥0，那么 ，当且仅当______时，等号成立 表述 两个非负实数的______平均值大于或等于它们的______平均值 a＝b 算术 几何 基本不等式成立的条件是a≥0，b≥0；不等式中的a，b可以是具体的某个数，也可以是代数式． (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立． 微提醒 均值不等式常见的变形 ③若a，b∈R, 则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 记结论 角度1　基本不等式的理解 　　　下列结论正确的是 例1 √ 应用基本不等式时要注意以下三点 1．各项或各因式均为非负的； 2．和或积为定值； 3．各项或各因式能取得相等的值． 即“一正二定三相等”． 方法技巧 即时练1.给出条件①ab＞0，②ab＜0，③a＞0，b＞0，④a＜0，b＜0，其中能使ab＋ ≥2成立的条件有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 由基本不等式可知，要使ab＋ ≥2成立，则ab＞0，所以a，b同号，所以①③④均可以，故选C. √ 即时练2.(多选)若a，b∈R且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是 √ √ √ 角度2　利用基本不等式证明不等式 例2 因为x，y，z都是正数， 即原不等式成立． 利用基本不等式证明不等式 利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的条件；若题目中还有已知条件，则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有1时，要注意1的代换．另外，解题中要时刻注意等号能否取到． 方法技巧 因为a＞0，b＞0，a＋b＝1， 索引 综　合　应　用 索引 例3 (2)当0＜x＜3，求2x(3－x)的最大值； 因为x＞3，所以2x－6＞0， 　　在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备． 方法技巧 即时练4.已知x＞1，则y＝x＋ 取得最小值时x的值为 A．3 B．2 C．4 D．5 √ 即时练5.(多选)已知a＞0，b＞0，下列命题中正确的是   B．若ab＝2，则a＋2b最小值为4   D．若a2＋b2＝1，则a＋b的最大值为 √ √ 索引 索引 1．正数x，y满足x＋y＝1，则xy的最大值是 √ 2．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)·(1＋y)的最大值为 A．16 B．25 C．9 D．36 因为x＞0，y＞0，且x＋y＝8， √ 3．下列不等式中正确的是 √ 4．(多选)设a，b∈R且ab≠0，则下列不等式一定成立的是 √ √ √ 因为a，b∈R且ab≠0，a2＋b2≥2ab成立，故A正确； 5．(2023·安徽蚌埠期末)若不等式x＋m≥ 对任意x＞3恒成立，则实数m的最小值是______． 索引 －5 课　时　精　练 索引 1．已知a＞1，则a＋ 的最小值为 A．5 B．6 C．7 D．10 √ 当a＞1时，a－1＞0， 基础达标 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2．下列不等式的最小值是4的是 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9