3.1.3函数的奇偶性（第一课时）-【高效课堂】2023-2024学年高一数学同步精讲课件（人教B版2019必修第一册）

3.1.3函数的奇偶性（1） 故宫殿堂建筑整齐对称，相映成趣, 给人以稳重、博大、端庄的感觉！数学上有对称的函数图象吗？它们体现了函数的什么性质？一起让我们来学习这个性质吧！ 1.理解函数的奇偶性的含义.(难点） 2.掌握判断函数的奇偶性的方法．（重点、难点） 3.了解奇函数、偶函数的图象的对称性. 思考1：填写下表，观察指定函数的自变量互为相反数时，函数值具有什么关系. 9 4 1 1 4 9 1 1 上述两个函数，当自变量取互为相反数的两个值和时，对应的函数值相等.即 探究点1 偶函数的定义 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内的任意的一个,都有,且 则称为偶函数. 追问：对于定义在上的函数,若,则函数一定是偶函数吗? 提示:不一定,仅有不足以确定函数的奇偶性,不满足定义中的“任意”,故不一定是偶函数. 思考2：根据初中学过的知识，点关于轴的对称点是多少？ 点关于轴的对称点为 思考3：画出的图象并思考偶函数的图象具有什么特征呢？ 因为点与都是函数图象上的点.根据偶函数定义，点又可以写成,因此点和点关于轴对称.反之，结论也成立. () y o ( ) P Q 偶函数图象关于轴对称 追问：根据偶函数图象的特征，你能否画出函数的图象？ 的定义域是 当时,可以画出轴右侧的图象; 当时,根据图象关于轴对称即可画出完整图象. 思考1：填写下表，观察指定函数的自变量互为相反数时，函数值具有什么关系. -27 -8 -1 1 8 27 -1 1 上述两个函数，当自变量取互为相反数的两个值和时，对应的函数值也为相反数.即 探究点2 奇函数的定义 奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果对内的任意的一个,都有,且 则称为奇函数. 追问：对于定义在上的函数,若,则函数一定是奇函数吗? 提示:不一定,仅有不足以确定函数的奇偶性,不满足定义中的“任意”,故不一定是奇函数. 类比偶函数的定义，你能给奇函数下一个定义吗？ 如果一个函数是偶函数或是奇函数，则称这个函数具有奇偶性. 思考2：根据初中学过的知识，点关于原点的对称点是多少？ 点关于原点的对称点为 思考3：画出的图象并思奇函数的图象具有什么特征呢？ 因为点与都是函数图象上的点.根据奇函数定义，点又可以写成,因此点和点关于原点对称.反之，结论也成立. P Q 奇函数图象关于原点对称 y o 即时训练: 根据图象判断下列函数哪个是偶函数，哪个是奇函数？ 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 【总结提升】奇函数与偶函数定义中的三性 (1)对称性：奇、偶函数的定义域关于原点对称； (2)整体性：奇偶性是函数的整体性质，是对定义域内的每一个都成立的； (3)可逆性：⇔是奇函数，⇔是偶函数. 与都属于定义域，否则不具有奇偶性 例1 判断下列函数是否具有奇偶性： （1）；（2）； （3）； （4）. 【解析】（1）因为函数的定义域为，关于原点对称 又因为 所以，函数是奇函数. （2）因为函数的定义域为，关于原点对称 又因为 所以，函数是偶函数. 当为正数时，为偶函数； 是奇函数 （3）因为函数的定义域为，关于原点对称 又因为，所以且 所以，函数既不是奇函数也不是偶函数. 且 则称是非奇非偶函数. （4）因为函数的定义域为，不关于原点对称 所以，函数既不是奇函数也不是偶函数. 有没有既奇又偶的函数呢？ 若且 则，从而 只要函数定义域关于原点对称，对应关系为，则该函数既是奇函数又是偶函数. 定义法判断函数奇偶性的一般步骤： （1）先求函数的定义域，由于在函数奇偶性的定义中都是和对应出现，故具备奇偶性的函数的定义域区间一定关于坐标原点对称，如果求出函数的定义域不是关于坐标原点对称的，则这个函数不具备奇偶性. 【总结】 （2）验证 ，或者. （3）根据函数奇偶性的定义得出结论. 判断函数奇偶性的方法：图象法、定义法（解答题证明） 按照奇偶性分类： 奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶函数 例2 已知奇函数的定义域为,且,求证：. 【解析】因为是奇函数，所以 即,所以,因此 跟踪训练 判断函数奇偶性. 【解析】（1）因为函数的定义域为，关于原点对称 又因为 所以，函数是奇函数. 定义域 函数的奇偶性 判断方法 关于原点对称 偶函数关于y轴对称 奇函数关于原点对称 图象特点 定义法 图象法 $$