天津市北辰区2020届高三上学期第一次联考（期中）数学试卷

18. (本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形. 已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2√2,ZPAB=60° . (I) 证明AD上平面PAB; (Ⅱ) 求异面直线PC与 AD所成的角的正切值； (Ⅲ)求二面角P -BD-A的正切值. 19. (本小题满分 15分) ),其中a∈R.已知函 (I) 当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程； (II) 当a≠0时，求函数f(x)的单调区间与极值. 第一次联考试卷 高三数学 第5页 (共6页) 北辰区2020届高三第一学期期中考试试卷 数学答案 一.选择题：（题5分） 1.A2.B 3.D4.C5.A6.C7.B8.C 9.B 二填空题：（每题5分） 10.1211.[-1.3)12.-4013. 3W10 14. 4 15.4v6-13 10 三解答题： 16.本题满分15分 解：f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1.:(1分) =sin2x·c0s2x…(3分） 因此，函数(x)的最小正周期为p·(7分) (W解：因为f田=2sin及x.P8在区间0,8上为增图数 ě 4 8'8日1 …(9分) 在区间3p卫上为减函数。 (10分) 8848 又f 9=0 ine2.卫0=.2cos2=-l,(13分) 88 88 88o 8246 4 故图数f)在区间架.，上的最大值为V反，最小值为1…(15分) 88'8H 17.本题满分15分 解：()设“从甲盒内取出的2个球均黑球”为事件A.…(1分) “从乙盒内取出的2个球为黑球”为事件B…(2分) 由干事件AB相互独立.且P(A)= C2 5 …(4分》 故取出的4个球均为黑球的概率为PL4gp)=PgP(8)=)号{…5分》 ()解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球：从乙盒内取出的2个球中，1个是红红，1个 是黑球"为事件C。…(6分) “从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球：从乙盒内取出的2个球均为黑球” 为事件D…(7分) 由干事件C,D互乐且PC)·C位5Po)=9g1 CC5…(9分) 故取出的4个球中恰有1个红球的概率为P(C+D)=P(C)+P(D)-5+55 417 …(10分） (l)解：x可能的取值为0,1,2,3.…(11分) 电.得Pe-0-号Pe-0-各 又Pe=3)=S.1.1 CC23 ,…(13分) Pt=2)=1.Pe=0)-Pe=)-Pe=3)=3 0 , (14分) x的分布列为 0 1 2 3 P > 1 5 15 10 30 x的数学期望Ex=0' +1+2 1.7 +3 (15分) 15 10 306 18.本题满分15分 解：(1)证明：在DPAD中， 由题设 PA=2,PD=22 可 得 ! PA2+AD2=PD2.…(1分) D 干是AD PA…(2分) H E 在矩形ABCD中.AD AB,(3分)） B C 又PAI AB=A,.(4分) 所以ADA平面PAB .…(5分) (I)证明：由题设.BC∥AD,所以DPCB(或其补角)是异面直线PC与AD所成的 角…(6分） 在DPAB中，由余弦定理得 PB=VPA2+AB2.2PA×AB xcos PAB=√7 …(7分） 由(I)知ADA平面PAB,PB1平面PAB,…(8分) 所以AD PB,因而BC PB,干是DPBC是直角三角形，故an PCB= PB-万 BC 2 所以异面直线PC与AD所成的角的正切值为an PCB=PB= BC2…(10分) (IⅢ)解：过点P做PH AB干H,过点H做HE BD干E,连结PE.,(11分) 因为ADA平面PAB,PH1平面PAB,所以AD PH,又ADI AB=A 因而PHA平面ABCD,故HE为PE再平面ABCD内的射影. 由三垂线定理可知。 BD PE,从而DPEH是二面角P.BD·A的平面角。 由题设可得，… (12分) PH=PA xsin60°=√3，AH=PA×cos60°=L, BH AB-AH =2,BD=AB'+AD213, HE AD 4 ×BH=- BD 13 (14分) 干是再T DPHE中.tan PEH=S9 4 所以二面角P.BD·A的正切值为an PEit=V39 .(15分) 解法二 (1)解：同解法一…(5分) (I)解：由(I)可知，平面PAB平面ABCD.所以作PM AB干M, 由面面垂直的性质可证PMA平面ABCD,以M为原点，建立空间直角坐标系。 ,(7分)》 P0.0,V3)A(-1.0,0)B(20,0)C(2,2,0)D(-12,0) PC=(2,2,-√3)AD=(0,2,0. (8分) 设异面直线PC与AD所成的角为日 v11 …(9分