专题03 难点探究专题：解直角三角形应用与特殊几何图形的综合之五大类型-【学霸满分】2023-2024学年九年级数学下册重难点专题提优训练（北师大版）

专题03 难点探究专题：解直角三角形应用与特殊几何图形的综合之五大类型 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【类型一 解直角三角形应用与特殊三角形的综合】 1 【类型二 解直角三角形应用与平行四边形的综合】 6 【类型三 解直角三角形应用与菱形的综合】 9 【类型四 解直角三角形应用与矩形的综合】 12 【类型五 解直角三角形应用与正方形的综合】 19 【类型六 解直角三角形应用与其他图形的综合】 22 【典型例题】 【类型一 解直角三角形应用与特殊三角形的综合】 例题：（2023秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）中国传统建筑屋顶设计是中国古代建筑之瑰宝．常见的屋顶种类主要有院殿顶、歇山顶、硬山顶、悬山顶、攒尖顶、卷棚顶和平顶等．如图1的古代建筑屋顶，被称为“悬山顶”，它的侧视图呈轴对称图形，如图2所示，已知屋檐米，屋顶E到支点C的距离米，墙体高米，屋面坡角．（参考数值：） (1)求房屋内部宽度的长； (2)求点A与屋面的距离． 【变式训练】 1．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）露营爱好者在露营时为遮阳和防雨会借助垂直于地面的树干搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支撑杆，用绳子拉直后系在树干上的点A处，使得A，C，E在一条直线上，通过调节点A的高度可控制“天幕”的开合，若米，于点O （参考数据：，，）    (1)天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度EF；（结果保留一位小数） (2)下雨时收拢“天幕”，由减小到，求点O下降的高度．（结果保留一位小数） 2．（2023春·海南海口·九年级海口一中校考期中）油纸伞有着逾千年的历史，被列入国家非物质文化遗产名录；在一次活动中，小文了解了油纸伞文化的内涵，决定进行设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中）：伞柄始终平分，，当时，伞完全打开，此时． (1)　 　，　 　； (2)求线段的长；（结果保留整根号） (3)请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：） 3．（2023·浙江绍兴·统考三模）图是一款笔记本电脑支架，它便于电脑散热，减轻使用者的颈椎压力．图是支架与电脑底部的接触面以及侧面的抽象图，已知，互相平分于点，，若，．    (1)求的长． (2)求点到底架的高（结果精确到，参考数据：，，）． 【类型二 解直角三角形应用与平行四边形的综合】 例题：图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，A，D，H，G四点在同一直线上，测得．（结果保留小数点后一位） (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求雕塑的高（即点G到的距离）． （参考数据：） 【变式训练】 1．如图1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形，其中，，此时它与出入口等宽，与地面的距离；当它抬起时，变为平行四边形，如图3所示，此时，与水平方向的夹角为． (1)求点到地面的距离； (2)在电动门抬起的过程中，求点所经过的路径长； (3)一辆高，宽的汽车从该入口进入时，汽车需要与保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由．（参考数据：，，所有结果精确到 【类型三 解直角三角形应用与菱形的综合】 例题：如图是一个晾衣架的实物图，支架的基本图形是菱形，MN是晾衣架的一个滑槽，点P在滑槽MN上、下移动时，晾衣架可以伸缩，其示意图如图所示，已知每个菱形的边长均为20cm，且． 当点P向下滑至点N处时，测得时 求滑槽MN的长度； 此时点A到直线DP的距离是多少？ 当点P向上滑至点M处时，点A在相对于的情况下向左移动的距离是多少？ 结果精确到，参考数据 【变式训练】 1．如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，AF＝EF＝FG＝1m． （1）若移动滑块使AE＝EF，求∠AFE的度数和棚宽BC的长． （2）当∠AFE由60°变为74°时，问棚宽BC是增加还是减少？增加或减少了多少？（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【类型四 解直角三角形应用与矩形的综合】 例题：（2023春·江西南昌·九年级南昌市第二十八中学校联考阶段练习）某景区草地上竖立着一个如图（1）所示的雕塑，现将其中两个近似大小相同的矩形框架抽象成如图（2）所示的图形，矩形可由矩形绕点旋转得到，点在上，延长交于点．连接．    (1)判断四边形的形状并给予证明； (2)若点在水平地面上，与水平地面平行，，求点到水平地面的距离．（结果精确到．）参考数据： 【变式训练】 1．（2023·山东青岛·统考二