4.2 等差数列（十六大题型）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第一册）

4．2 等差数列 课程标准 学习目标 1、通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义． 2、探索并掌握等差数列的前项和公式，理解等差数列通项公式与前项和公式的关系． 3、能在具体问题情境中发现数列的等差关系，并解决相应的问题． 4、体会等差数列与一元一次函数的关系． 1、掌握等差数列的通项公式，能利用等差数列的通项公式进行基本的运算 2、了解等差数列前n项和公式的推导过程． 3、掌握等差数列前n项和公式． 4、能根据等差数列的定义证明一个数列是等差数列． 知识点01等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示． 知识点诠释： ⑴公差一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即公差）； 符号语言形式 对于数列，若（，，为常数）或（，为常数），则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差． 知识点诠释：定义中要求“同一个常数”，必须与无关． 等差中项 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即． 知识点诠释： ①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数．任意两实数，的等差中项存在且唯一． ②三个数，，成等差数列的充要条件是． 【即学即练1】（2023·高二课时练习）已知数列是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数是（    ） ①                ②        ③            ④ A．1 B．2 C．3 D．4 知识点02等差数列的通项公式 等差数列的通项公式 首相为，公差为的等差数列的通项公式为：， 推导过程： （1）归纳法： 根据等差数列定义可得：， 所以， ， ， …… 当n=1时，上式也成立 所以归纳得出等差数列的通项公式为：（）． （2）叠加法： 根据等差数列定义，有： ， ， ， … 把这个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得， 所以． （3）迭代法： 所以． 知识点诠释： ①通项公式由首项和公差完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等差数列就唯一确定了． ②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量． 等差数列通项公式的推广 已知等差数列中，第项为，公差为，则． 证明：因为， 所以 所以 由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式．可以看成是时的特殊情况． 【即学即练2】（2023·广东深圳·高二校联考期中）在等差数列中，，，则数列的通项公式 . 知识点03等差数列的性质 等差数列中，公差为，则 ①若，且，则， 特别地，当时． ②下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为． ③若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列． ④仍是等差数列． ⑤数列（为非零常数）也是等差数列． 【即学即练3】（2023·广东阳江·高二校考期中）已知数列是等差数列，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 知识点04 等差数列的前项和公式 等差数列的前项和公式 公式一： 证明：倒序相加法 ① ② ①+②： 因为 所以 由此得： 公式二： 证明：将代入可得： 知识点诠释： ①倒序相加是数列求和的重要方法之一． ②上面两个公式均为等差数列的求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量． 【即学即练4】（2023·甘肃白银·高二校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为S，且，，则（    ） A．-2 B．2 C．4 D．6 知识点05等差数列的前n项和的有关性质 等差数列中，公差为，则 ①连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为． ②若项数为，则，， ③若项数为，则，，，， 【即学即练5】（2023·高二课时练习）在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 知识点06等差数列中的函数关系 等差数列的通项公式是关于的一次函数（或常数函数） 等差数列中，，令，则： （，是常数且为公差） （1）当时，为常数函数，为常数列；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． （2）当时，是的一次函数；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． ①当时，一次函数单调增，为递增数列； ②当时，一次函数单调减，为递减数列． 等差数列的前项和公式是关于的一个常数项为零的二次函数（或一次函数） 由，令，，则： （，是常数） （1）当即时，，是关于的一个一次函数；它的图象是在直线上的一群孤立的点． （2）当即时，是关于的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物