专题2-1 弦中点与第三定义（点差法）-【重难点突破】备考2024届高考数学-模型·方法·技巧专题（新高考专用）

专题2-1 圆锥曲线——弦中点与第三定义（点差法） 中点弦模型（圆锥曲线中的垂径定理）  椭圆垂径定理：已知A,B是椭圆上任意2点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有 证明（点差法）：设，，则， ，， ∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得 ① ② 两式相减得：，整理得 ∴ 【思考】 ①椭圆焦点在轴上时，结论是否仍然成立？；②在双曲线中是否有类似的性质？ 设，，则， 仍有 ，， ∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得 ① ② 两式相减得：，整理得 ∴ 可以看到，这一等式建立了二次曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间关系式．也就是说，已知弦的中点，可求弦的斜率；已知斜率，可求弦的中点坐标．同时也不难得出这样的经验，当题目问题涉及到弦的斜率与弦的中点时，就可以考虑“点差法”．诸如求中点弦的方程，弦中点的轨迹，垂直平分线等等，这些都是较为常见题型． ∵A，B在双曲线上，代入A，B坐标得 ① ② 两式相减得：， 整理得 ∴ 注：抛物线中同样存在类似性质： 第三定义  那么点差法是不是只能解决同时与中点和斜率有关的问题呢?其实不然．其实点差法的内核还是“设而不求、整体代换”的思想，建立的是曲线上两点横纵坐标和差之间的联系，这其实也是第三定义的体现. 第三定义：平面内与两个定点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时． 【第三定义推广】：平面内与两个关于原点对称的点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时． 【证明】是椭圆上的一组对称点，P为椭圆上任意点，则有 证明（点差法）：设，，， ，， ∵P，A在椭圆上，代入坐标得 ① ② 两式相减得：，整理得 ∴ 法二：通过椭圆的垂径定理转换 中点弦和第三定义本质上是一样的 【思考1】在双曲线中是否有类似的性质？ 设，，， ，， ① ② 两式相减得：， 整理得 ∴ 法二： 双曲线垂径定理 设， ∵P，B在双曲线上，代入双曲线方程得 ① ② 两式相减得：，整理得 ∴ 2022年全国甲卷（理）T10——第三定义 1． 椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解. 【详解】[方法一]：设而不求 设，则 则由得：， 由，得， 所以，即， 所以椭圆的离心率，故选A. [方法二]：第三定义 设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知： 故， 由椭圆第三定义得：， 故 所以椭圆的离心率，故选A. 2023全国乙卷·理11·文12 2． 设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断. 【详解】设，则的中点， 可得， 因为在双曲线上，则，两式相减得， 所以. 对于选项A： 可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C：可得，则 由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D：，则， 联立方程，消去y得， 此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确 2022·新高考II卷T16——弦中点 3． 已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ． 【答案】 【分析】令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解； 【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法 令的中点为，设，，利用点差法得到， 设直线，，，求出、的坐标， 再根据求出、，即可得解； 解：令的中点为，因为，所以， 设，，则，， 所以，即 所以，即，设直线，，， 令得，令得，即，， 所以， 即，解得或（舍去）， 又，即，解得或（舍去）， 所以直线，即； 故答案为： [方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法 解：由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点， 设，，设直线，，， 则，，，因为，所以 联立直线AB与椭圆方程得消掉y得 其中， ∴AB中点E的横坐标,又，∴ ∵，，∴,又，解得m=2 所以直线，即 重点题型·归类精讲 题型一