3.2 函数与方程、不等式之间的关系（第2课时）（教学课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教B版2019必修第一册）

2023-2024学年高一数学同步精品教学课件 3.2函数与方程、不等式之间的关系（第2课时） 第三章 函数 高一必修第一册（2019人教B版） 零点的存在性及其近似值的求法 ①学习目标 ②新知导入 ③新知探索 ④教材例题 ⑤课堂练习 ⑥课堂总结 ⑦作业布置 1.理解函数零点存在定理，会判断零点所在区间.（重点） 2.了解二分法求函数的近似零点.3.能解决二次函数零点分布问题.（难点） 学习目标 新知导入 情景一：路边有一条河，小明从A点走到了B点，观察下列两组画面，推断哪一组能说明小明的行程一定曾渡过河？ 提示　第(1)组能说明小明的行程一定曾渡过河. 一次函数、二次函数的零点是否存在, 并不难判别, 这是因为一元一次方程、一元二次方程实数解的情况, 都可以根据它们的系数判别出来, 而且有实数根的时候, 都能够写出求根公式. 新知探索 知识点一：零点存在定理 但是, 对于次数大于或等于 3 的多项式函数 (例如 , 其中 , 以及其他表达式更复杂的函数来说, 判断零点是否存在以及求零点, 都不是容易的事 (事实上, 数学家们已经证明: 次数大于4的多项式方程,不存在通用的求根公式). 因此, 我们有必要探讨什么情况下一个函数一定存在零点. 尝试与发现 如图所示, 已知 都是函数 图像上的点, 而且函数图像是连接 两点的连续不断的线, 作出 3 种 的可能的图像. 判断 是否一定存在零点, 总结出一般规律. 新知探索 知识点一：零点存在定理 函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)·f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0. 新知探索 知识点一：零点存在定理 注意： (1)利用函数零点存在定理只能判断零点是否存在，不能确定零点的个数. (2)函数满足定理两个条件时，一定有零点，不满足定理的两个条件，也可能有零点. 新知探索 知识点一：零点存在定理 二分法的概念 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法称为二分法. 新知探索 知识点二：二分法 二分法求函数近似零点的步骤 在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，且f(a)f(b)<0)，给定近似的精度ε，用二分法求零点x0的近似值x1，使得|x1－x0|<ε的一般步骤如下： 新知探索 知识点二：二分法 第三步　若f(a)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))<0，将eq \f(a＋b,2)的值赋给b (用eq \f(a＋b,2)→b表示，下同)，回到第一步；否则必有 feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))f(b)<0，将eq \f(a＋b,2)的值赋给a，回到第一步. 第一步　检查|b－a|≤2ε是否成立，如果成立，取x1＝eq \f(a＋b,2)，计算结束；如果不成立，转到第二步. 新知探索 知识点二：二分法 第二步　计算区间(a，b)的中点eq \f(a＋b,2)对应的函数值，若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))＝0，取x1＝eq \f(a＋b,2)，计算结束；若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))≠0，转到第三步. 注意：(1)二分法只能求函数的变号零点(函数图像通过零点时穿过x轴，这样的零点为变号零点)的近似值. (2)二分法的解题原理是函数零点存在定理，它是一种求近似解的具体方法，是考查“极端”“无限分割”“化整为零”“无限逼近”等数学思想方法的具体体现. (3)由|b－a|≤2ε可知令x1＝eq \f(a＋b,2)，x1与函数的零点x0之间的误差，|x1－x0|一定小于ε，原因是|x1－x0|<|x1－b|＝|eq \f(a＋b,2)－b|＝|eq \f(a－b,2)|≤ε.也可以是|x1－x0|<|x1－a|＝|eq \f(a＋b,2)－a|＝|eq \f(a－b,2)|≤ε. 新知探索 知识点二：二分法 教材例题 【典例6】求证: 函数至少有一个零点. 【证明】因为 所以 , 因此 , 即结论成立. 教材例题 【典例7】已知函数有两个零点,在区间上是单调的,且在该区间中有且只有一个零点,求实数的取值范围. 【解析】因为函数的图像是开口向上的抛物线, 因此满足条件的函数图像的示意图如图所示.不管哪种情