专题5.1 函数的概念和图象（六个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019必修第一册）

专题5.1函数的概念和图象 知识点1 函数的概念 1．函数的定义 设是非空的实数集,如果对于集合中的任意一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作. 2．函数的定义域与值域 函数中,叫做自变量,x的取值范围叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域．显然,值域是集合的子集． 3．对应关系 除解析式、图象表格外,还有其他表示对应关系的方法,引进符号统一表示对应关系． 注意：（1）当为非空数集时,符号“”表示到的一个函数． （2）集合中的数具有任意性,集合中的数具有唯一性． （3）符号“”它表示对应关系,在不同的函数中的具体含义不一样． 知识点2 同一个函数 1．函数三要素 由函数的定义可知,一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域． 2．相同函数 值域是由定义域和对应关系决定的,如果两个函数的定义域和对应关系相同,我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同,但定义域不同,则它们不是相同的函数． 知识点3 常见函数的定义域和值域 函数 函数关系式 定义域 值域 正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数 重难点1函数关系的判断 【例1】（多选）下列对应关系中不是到的函数的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（多选）下列四个图象中，是函数图象的是（    ） A．     B．   C．   D．   （1）判断对应关系是否为函数的2个条件：①必须是非空数集；②中任意一元素在中有且只有一个元素与之对应． （2）根据图形判断对应是否为函数的方法：①任取一条垂直于轴的直线；②在定义域内平行移动直线；③若与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 【变式1-1】下列曲线能作为函数图像的是 ．（写出所有满足要求的图像序号） 【变式1-2】判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数． (1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 【变式1-3】（多选）设集合，则下列图象能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A． B． C． D． 重难点2求函数的定义域 【例3】函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【例4】函数的定义域是 .（结果用区间表示） 求函数定义域的几种类型： （1）若是整式，则函数的定义域是R. （2）若是分式，则应考虑使分母不为零． （3）若是偶次根式，则被开方数大于或等于零． （4）若是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． （5）若是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． 【变式2-1】函数的定义域为（写成集合形式） . 【变式2-2】函数的定义域是 . 【变式2-3】求下列函数的定义域： (1) (2)； (3) (4)； (5)． 重难点3已知函数值求自变量 【例5】（多选）已知函数，分别由下表给出：则方程的解可以表示为（    ） 1 2 3 4 3 4 1 2 4 3 2 3 A．1 B．2 C．3 D．4 【例6】已知，若，则 . 【变式3-1】已知，且，则a的值为 ． 【变式3-2】设，，若，求的值． 【变式3-3】已知函数． (1)求的定义域； (2)求的值； (3)当时，求a的值． 重难点4同一函数的判断 【例7】下列各组函数表示同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例8】（多选）下列各组函数中，是同一个函数的有（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 判断两个函数为同一函数的方法：判断两个函数是否为同一函数，要先求定义域，若定义域不同，则不是同一函数；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同． 【变式4-1】下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（多选）下列函数中，表示同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式4-3】下列各组函数是同一函数的是 (填序号)． ①与；②与；③与. 重难点5求简单函数值域 【例9】下列函数中，定义域是其值域真子集的是（   ） A． B． C． D． 【例10】求下列函数的值域： (1)； (2) (3)； (4)． 求简单函数值域常用方法： 配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域； 分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式