3.2.2双曲线的几何性质小练习（2）-2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

3.2.2双曲线的几何性质小练习（2） 一、单项选择题 1. 中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是(　　) A. x2－y2＝8 B. x2－y2＝4 C. y2－x2＝8 D. y2－x2＝4 2. 若直线y＝kx与双曲线＝1相交，则实数k的取值范围是(　　) A. B. C. D. ∪ 3. 若双曲线＝1(a＞0，b＞0)的上、下顶点分别为A1，A2，点P在双曲线上(异于顶点)，直线PA1，PA2的斜率乘积为，则双曲线的渐近线方程为(　　) A. y＝±x B. y＝±x C. y＝±x D. y＝±2x 4. 已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1，且离心率为，过点F1作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M，若△OMF1的面积等于4(O为坐标原点)，则实数b的值为(　　) A. 4 B. 1 C. 3 D. 2 二、多项选择题 5. 已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为A，B，双曲线的一条渐近线被圆x2＋y2＋8x＋8＝0所截得弦长为4，且点C在双曲线的左支上，在△ABC中内角分别表示为A，B，C，则下列说法中正确的是(　　) A. a＝2b B. 双曲线的渐近线方程为y＝±x C. 双曲线的离心率为 D. ＝ 6. 已知双曲线C的标准方程为＝1，则下列结论中正确的是(　　) A. 双曲线C的离心率为2 B. 直线x＝2与双曲线C相交于A，B两点，则AB＝6 C. 双曲线＝1与双曲线C有相同的渐近线 D. 双曲线C的焦点到渐近线的距离为 三、填空题 7. 双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a的值为__________． 8. 设直线l过双曲线C的一个焦点，且与双曲线C的一条对称轴垂直，直线l与双曲线C交于A，B两点，AB等于双曲线C的实半轴长，则双曲线C的离心率为________． 四、解答题 9. 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1) 渐近线方程为y＝±x，焦距为10； (2) 与椭圆＝1有公共焦点，且离心率e＝. 10. 已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2. (1) 求与双曲线C有共同渐近线且过点(2，3)的双曲线标准方程； (2) 若P是双曲线C上的一点，且∠F1PF2＝150°，求△F1PF2的面积． 参考答案 一、单项选择题 1. 中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是(　　) A. x2－y2＝8 B. x2－y2＝4 C. y2－x2＝8 D. y2－x2＝4 【解析】在直线3x－4y＋12＝0中，令y＝0，得 x＝－4，所以等轴双曲线的一个焦点为 (－4，0)，所以c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，故双曲线的方程是x2－y2＝8. 故选A. 2. 若直线y＝kx与双曲线＝1相交，则实数k的取值范围是(　　) A. B. C. D. ∪ 【解析】由题意，得直线y＝kx恒过原点，双曲线＝1的渐近线为y＝±x.因为直线y＝kx与双曲线＝1相交，所以－＜k＜.故选C. 3. 若双曲线＝1(a＞0，b＞0)的上、下顶点分别为A1，A2，点P在双曲线上(异于顶点)，直线PA1，PA2的斜率乘积为，则双曲线的渐近线方程为(　　) A. y＝±x B. y＝±x C. y＝±x D. y＝±2x 【解析】双曲线：＝1(a＞0，b＞0)的上、下顶点分别为A1(0，a)，A2(0，－a)．又P(m，n)是双曲线上异于A，B的一点，所以＝1，即有m2＝．设直线PA1，PA2的斜率分别为k1＝，k2＝.因为直线PA1，PA2的斜率乘积为，即＝，所以＝，则双曲线的渐近线方程为y＝±x. 故选B. 4. 已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1，且离心率为，过点F1作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M，若△OMF1的面积等于4(O为坐标原点)，则实数b的值为(　　) A. 4 B. 1 C. 3 D. 2 【解析】由题意知，F1(－c，0)，渐近线方程为y＝±，不妨取过点F1作渐近线y＝的垂线，则MF1＝＝b，所以OM＝＝＝a，所以△OMF1的面积S＝OM·MF1＝ab＝4，所以ab＝8①.又离心率e＝＝，所以＝②，由①②解得b＝2. 故选D. 二、多项选择题 5. 已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为A，B，双曲线的一条渐近线被圆x2＋y2＋8x＋8＝0所截得弦长为4，且点C在双曲线的左支上，在△ABC中内角分别表示为A，B，C，则下列说法中正确的是(　　) A. a＝2b B. 双曲线的渐近线方程为y＝±x C. 双曲线的离心率为 D. ＝ 【