2.7.1抛物线的标准方程 讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

2.7.1抛物线的标准方程 一、知识梳理 1.抛物线的定义 一般地，设F是平面内的一个定点，是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到的距离 的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的 ，定直线称为抛物线的 . 2.抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点 准线方程 范围 开口方向 对称轴 2、 例题讲解 （一）抛物线的定义 例1（教材）已知M是抛物线上一点，且M到抛物线的焦点的距离等于3，写出M到拋物线的准线的距离． 练1-1．到直线与到定点的距离相等的点的轨迹是（       ） A．椭圆 B．圆 C．抛物线 D．直线 练1-2.已知是抛物线：的焦点，点在上且，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 练1-3．若点到直线的距离比它到点的距离小，则点的轨迹为（       ） A． 椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 （2） 抛物线的标准方程 例2-1（教材）分别根据下列条件，求抛物线的标准方程和准线方程： （1）抛物线的焦点到准线的距离是3，而且焦点在x轴的正半轴上； （2）抛物线的焦点是． 例2-2（教材）分别根据下列条件，求抛物线的焦点坐标和标准方程： （1）抛物线的焦点到x轴的距离是2，而且焦点在y轴的正半轴上． （2）抛物线的焦点是双曲线的焦点之一． 练2-1（教材）分别根据下列条件，写出抛物线的标准方程： (1)焦点是； (2)准线方程是． 练2-2（教材）已知抛物线的焦点在x轴的正半轴上，且准线与y轴之间的距离为6，求此抛物线的标准方程． 练2-3（教材）写出下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)； (2)． 练2-4（教材）求焦点在x轴正半轴上，并且经过点的抛物线的标准方程． 练2-5.以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点到焦点的距离为3，则抛物线的方程是（    ） A． B． C． D． （3） 轨迹方程 例3（教材）已知平面直角坐标系中，动点M到的距离比M到x轴的距离大2，求M的轨迹方程，并在平面直角坐标系中作出轨迹曲线． 练3-1（教材）已知点M与点的距离比它到直线的距离小2，求点M的轨迹方程． （4） 抛物线定义的应用 例4（教材）已知点M在抛物线上，它与焦点的距离等于9，求点M的坐标． 练4-1.已知是抛物线：的焦点，点在上且，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.7.1抛物线的标准方程 一、知识梳理 1.抛物线的定义 一般地，设F是平面内的一个定点，是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程 图形 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 焦点 F F F F 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 2、 例题讲解 （一）抛物线的定义 例1．已知M是抛物线上一点，且M到抛物线的焦点的距离等于3，写出M到拋物线的准线的距离． 【答案】3 【详解】根据抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离， ∴M到拋物线的准线的距离为3． 练1-1．到直线与到定点的距离相等的点的轨迹是（       ） A．椭圆 B．圆 C．抛物线 D．直线 【答案】C 【详解】动点到定点的距离与到定直线：的距离相等， 所以的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，故选：C． 练1-2.已知是抛物线：的焦点，点在上且，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是抛物线：的焦点，所以， 又，由抛物线的定义可知，解得，所以.故选：A 练1-3．若点到直线的距离比它到点的距离小，则点的轨迹为（       ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】C 【详解】因为点到直线的距离比它到点的距离小, 所以点到直线的距离等于它到点的距离,∴点的轨迹为抛物线,故选:C. （2） 抛物线的标准方程 例2-1 分别根据下列条件，求抛物线的标准方程和准线方程： （1）抛物线的焦点到准线的距离是3，而且焦点在x轴的正半轴上； （2）抛物线的焦点是． 【答案】（1）根据题意可知，抛物线的标准方程具有的形式，而且