4.31 求空间角 巩固训练 学案-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

驻马店高级中学 §4.31向量计算空间角巩固训练 一、选择题 1．若平面α的一个法向量为n1＝(4,3,0)，平面β的一个法向量为n2＝(0，－3,4)，则平面α与平面β二面角的余弦值为(　　) A．－ B.或－ C. D．以上都不对 答案　B 解析　∵cos〈n1，n2〉＝＝－，∴平面α与平面β二面角的余弦值为.或－ 2．若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则直线l与平面α所成角的余弦值为(　　) A．－ B. C．－ D. 　答案　D 解析　∵cos〈a，n〉＝＝＝， ∴直线l与平面α所成角的正弦值为，余弦值为＝. 3．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为(　　) A.B.C.D. 答案　D 解析　方法一　∵＝＋，＝＋， ∴·＝(＋)·(＋) ＝·＝. 而||＝ ＝＝＝. 同理||＝. 令α为所求角，则cosα＝＝＝. 方法二　如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)， M，C(0,1,0)，N， ∴＝－(1,0,0)＝， ＝－(0,1,0)＝. 故·＝0×1＋×0＋1×＝. ||＝＝， ||＝＝. 设α为所求角，∴cosα＝＝＝. 4．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则直线AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为(　　) A.B．－C.D．－ 答案　A 解析　取AC的中点E，连接BE， 则BE⊥AC，以B为坐标原点，BE，BB1所在直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz， 则A，D(0,0,1)，B(0,0,0)，E， 则＝，＝. ∵平面ABC⊥平面AA1C1C， 平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，BE⊥AC， BE?平面ABC， ∴BE⊥平面AA1C1C， ∴＝为平面AA1C1C的一个法向量． 设直线AD与平面AA1C1C所成角为α， ∵cos〈，〉＝－， ∴sin α＝|cos〈，〉|＝. 5．在正四棱锥S－ABCD中，SA＝AB＝2，则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意得A(1，－1,0)，C(－1,1,0)，B(1,1,0)，S(0,0，)． ∴＝(－2,2,0)， ＝(－1，－1，)， ＝(1，－1，)． 设平面SBC的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则∴ 令z＝，得x＝0，y＝2，∴n＝(0,2，)． 设直线AC与平面SBC所成的角为θ， 则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝. 6．如图，已知空间四边形OABC的各边都相等，E，F分别为AB，OC的中点，则直线OE与BF所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设＝a，＝b，＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1， 则a·b＝b·c＝c·a＝. ∵＝(a＋b)，＝c－b，||＝||＝， ∵·＝(a＋b)·(c－b)＝a·c－a·b＋b·c－|b|2＝－， ∴cos〈，〉＝＝－. ∴直线OE与BF所成角的余弦值为. 二、填空题 7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP夹角的大小为________． 答案　 解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为2，A1P＝x(0≤x≤2)， 则O(1,1,0)，P(2，x,2)，B(2,2,0)，M(0,2,1)， ＝(1，x－1,2)，＝(－2,0,1)． 所以·＝0， 所以直线BM与OP夹角的大小为. 8．如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD＝90°，且PA＝AD＝2，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为________． 答案　 解析　以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz，则E(0,0,1)，F(1,2,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)． ＝(1,2，－1)，＝(－2,2,0)， 故cos〈，〉＝＝. 9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D夹角的大小为________． 考点　 题点　 答案　30° 解析　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则A1(1,0,1)，B(1,1,0)，A(1,0,0)，