解三角形中的几何关系训练-2024届高三数学一轮复习

· 解三角形中的几何关系 广南一中 自耐勇 1．为进一步落实国家乡村振兴政策，某网红村计划在村内一圆形地块中种植油菜花，助推乡村旅游经济．为了让油菜花种植区与观赏路线布局合理，设计者们首先规划了一个平面图，如图所示，与是油菜花种植区，其中，（不计宽度）是观赏路线．在四边形中，，，. (1)若时，求路线的长； (2)当时，求路线的长. 2．为了推导两角和与差的三角函数公式，某同学设计了一种证明方法：在直角梯形ABCD中，，，点E为BC上一点，且，过点D作于点F，设，. (1)利用图中边长关系，证明：； (2)若，求. 3．某人承包一块荒地种植蓝莓，原种植区域为，由于经济效益较好，现准备扩大种植面积．如图，延长BC到D，使，以AD为底边向外作顶角为的等腰三角形ADE．已知，设，． (1)求周长的取值范围； (2)求四边形区域ABDE面积的最大值． 4．某公司规划修建一个含生活和娱乐功能的设施，并在设施前的小路之间修建一处弓形花园（如图所示）．已知为上一点，，设． (1)用表示，并求的最小值； (2)问为何值时，点与主体设施之间的距离最近？ 5．在梯形中，，是上一点，满足 ，是上一动点，. (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，，，且， ，三条直线交于同一点，求的长. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1解：（1）因为四边形ABCD内接于圆，又，所以， 在中，由余弦定理得： 所以． 在中，由余弦定理得： 即，即， 所以(舍)或． （2）因为四边形ABCD内接于圆，，则， 因为，故． 由（1）知， 在中，，则， 所以在中，由正弦定理得，即， 所以，因为，所以， 所以． 在中，由余弦定理得： ， 所以. 2．解：（1）在中，，，，则， 在中，，，，则， 在中，，， 则， 依题意，四边形是矩形，则， 所以. （2）由及（1）知，，则，而为锐角，即有，，又是锐角，于是， 所以. 3．解：（1）在中，，由余弦定理，得 ， ， ，而在上单调递减，，即. 故周长为，其取值范围为. （2）作为垂足，因为三角形为等腰三角形， 且， ， 在中，根据余弦定理有， ， ， ， 当且仅当，即时， 四边形区域面积的最大值为 4．解：（1）因为，且， 所以， 所以， 所以， 因为，所以，当时，即时， ，所以的最小值为12． （2）因为，所以， 所以三角形是等边三角形， 所以， 又由（1）可知， 所以在中，由余弦定理得 因为，所以， 当，即时，取最小值112，即取最小值， 故当时，与设施之间的距离最近． 5．解：（1）在中，因为， 所以， 则， 解得 （2）如图，设与交于点，连接并延长交于点， 由于，知相似于，且点满足， 则在中，由余弦定理得 ， 又， 故， 所以 答案第2页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$