4.2 一元二次不等式及其解法 学历案-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

§4　一元二次函数与一元二次不等式 4.2　一元二次不等式及其解法 【学习主题】 新授课 【课时安排】1课时 【学习目标】 （1）掌握一元二次不等式的解法； （2）通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想； （3）通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辨证的世界观． 【学习重难点】 学习重点： 一元二次不等式的解法 含有字母的一元二次不等式问题的处理方法 学习难点：弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系． 不等式恒成立等综合性问题的解法 【学情分析】 从知识储备来说，学生在初中已经学习了一元二次方程和一元二次函数，对不等式的性质有了初步了解，这为我们学习一元二次不等式打下了基础。从心理特征来说，高中阶段的学生逻辑思维较初中学生来说更加严密，抽象思维能力也有进一步提升。在情感态度上学生对新内容的学习有一定的兴趣和积极性，但在探究问题的能力以及合作交流等方面的发展不够均衡。因此对于这个阶段的学生来说，对一元二次不等式及其解法的学习有一定的基础和必要. 【学法建议】（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型 （2）通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程的联系。 （3）会解一元二次不等式。 【学习过程】 一、 课前预习，发现问题 （一）阅读必修第一册教材第34-37页.结合课本及以上一节学习知识自主学习： 问题1：什么是一元二次不等式?不等关系的表示符号有哪些？ 问题2：一元二次函数的零点？ 问题3：三个二次之间的关系？ 问题4：怎样解不含参数的一元二次不等式？ 问题5：怎样解含参数的一元二次不等式？ 问题6：怎样解不等式恒成立问题？ . （二）预习自测 基础知识自测 1.一元二次不等式的概念 定义 只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 2.一元二次函数的零点 一般地，对于一元二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的 。 3. ①解方程；②作函数的图像；③解不等式 思考：在解决上述三问题的基础上分析，一元一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。能通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集吗？（请完成下表） 一次函数 的图象 一元一次方程 的解 一元一次不等式 的解 一元一次不等式 的解 4. 如何解不等式？ 3.一元二次不等式、一元二次方程、一元二次函数之间的关系： 对一般的一元二次不等式与来进行讨论。为简便起见暂只考虑的情形。请同学们思考下列问题： 一元二次函数 的图像 的根 的解 的解 迁移与应用 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)m＋5x<0是一元二次不等式．(　　) (2)若不等式a＋bx＋c<0的解集为{x|<x<}，则必有a>0.(　　) (3)若不等式a＋bx＋c>0的解集是{x|x<或x>}，则方程a＋bx＋c＝0的两个根是和.(　　) (4)若方程a＋bx＋c＝0没有实数根，则不等式a＋bx＋c>0的解集为R.(　　)二、 课中学习，合作探究 【学习任务1】解不含参的一元二次不等式 例1　 解下列不等式： （1）﹣5x2+3x+14≤0； （2）（5﹣2x）（x+3）＞9． 【课堂评价1】.解下列不等式： （1）2x2﹣5x+3＜0；（2）﹣3x2+x+4≤0． （3）﹣x2+2x＜﹣3；（4）x2﹣2x+1≤0． 【课堂展示】由学生快问快答 【反思总结】解一元二次不等式的步骤？ 【学习任务2】 解含参的一元二次不等式 【例2】（2021春•内江期末）解关于x的不等式x2+（m+1）x+m＞0． 【课堂评价1】（2020秋•沧州期中）当b≠0时，解关于x的不等式bx2﹣2x+2﹣b≤0． 【课堂评价2】（2020秋•临海市校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx﹣a+2． （1）若关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，求实数a、b的值； （2）若b＝2，解关于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0． 【课堂评价3】（2021春•莲池区校级期中）已知f（x）＝x2﹣a（a2+1）x+a4（a∈R）． （1）若f（8）＞0，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式f（x）＜0．