3.1 不等式性质 学历案-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

§3　不等式 3．1　不等式的性质 【学习主题】不等式的性质 【课时安排】1个课时 【学习目标】1、会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小．（重点） 2、掌握不等式的基本性质并且会证明这些性质．(重点) 3、运用不等式的性质解决有关问题．(难点) 【学习重难点】1、会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小．(数学运算) 2、会描述不等式的基本性质并运用基本性质证明一些简单的不等式；（逻辑推理） 【学情分析】学生的认知基础有：第一，会比较数的大小；第二，理解等式性质并知道等式性质是解方程的依据；第三、具备“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有一定的抽象概括能力和数学建模能力和合情推理归纳能力． 【学法建议】1.学习本节时注意理解记忆不等式的性质. 2.掌握利用作差法、作商法及不等式的性质证明不等式 ( 一 、 课前预习，发现问题 )【学习过程】 （一）要求：（1）逐字逐句阅读教材第24-26页，思考下列问题的答案；并记录预习发现的问题。 问题引入：楼房的采光率有一种简单的计算方法：设楼房的建筑面积为 ，窗户的面积和为，则楼房的采光率为(其中y>x>0)． 问题：显而易见，如果增加窗户的面积，楼房的采光将变好，那么如何用不等式来表示这个事实呢？(不妨设增加的窗户面积为，其中m>0) 问题1、回想初中数学中，利用什么方法比较两个实数a、b的大小？ 问题2、你能独立证明教材24页例2吗？请思考生活中有哪些实例能用例2中的不等式解释？ 问题3、证明不等式的基本性质1、性质2、性质3。 问题4、 判断下列命题是否正确？并结合性质1想一想你的感悟？ 问题5、性质2是否是可逆的？ 问题6、 如果a>b那么ac>bc是否成立？并结合性质3谈一谈你的感悟？ 问题7、由性质2知不等式的两边同时加上同一个实数不等号的方向不改变，如果加上不同的实数呢？即不等式两边分别加上不相等的两个数，能得到什么不等关系呢？你有几种方法证明你的猜想呢？证明性质4？ 问题8、由性质3不等式的两边同时乘以同一个实数，会得到新的不等关系。如果同时乘以不同的实数即不等式两边分别乘以不相等的两个数，能得到什么不等关系呢？证明性质5？ 问题9、如果a>b>0,c>d>0，a=c,b=d，你有何新结论？ 问题10、实数有乘方运算，那么在不等式两边进行乘方运算，是否也具有保持不等号不变的特性？举例说明？能否推广到一般情况呢？ 问题11、利用反证法证明性质6 问题12、由性质6的证明过程归纳出什么是反证法？反证法证明问题的一般步骤？ （二） 基础知识自测 1.比较实数a,b大小的依据 2.不等式的性质 名称 表达式 性质1(传递性) 如果a>b,且b>c,那么a____c. 性质2(可加性) 如果a>b,那么a+c________b+c. 性质3(乘法法则) 如果a>b,c>0,那么ac___bc; 如果a>b,c<0,那么ac_____bc. 性质4(同向不等式可加性) 如果a>b,c>d,那么a+c___b+d. 性质5(不等式的可乘性) 如果a>b>0,c>d>0,那么ac______bd; 如果a>b>0,c<d<0,那么ac______bd. 乘方法则:当a>b>0时,an________bn,其中n∈N+,n≥2. 性质6(开方法则) 当a>b>0时,_____其中n∈N+,n≥2. 迁移与应用 1.思考辨析(正确的画√，错误的画×) (1)不等式a≥b等价于“a不小于b”．(　　) (2)若x－2≤0，则x<2.(　　) (3)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(　　) (4)若>1，则a>b.(　　) (5)a，b，c为实数，在等式中，若a＝b，则ac＝bc；在不等式中，若a>b，则ac>bc.(　　) 2．设M＝，N＝－x－1，则M与N的大小关系是( ) A．M>N　　B．M＝N C．M<N D．与x有关 3.、给出下列命题： ①a>b⇒>；②a>|b|⇒；③a>b⇒；④|a|>b⇒.其中正确命题的序号是________． 4．若且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A． B． C． D． ( 二、 课中学习，合作探究 ) 【学习任务1】比较大小 【例1】 （1）试比较的大小 （2）设，则a，b的大小关系为________ （3）设a>b>0，比较与的大小． 【课堂评价1】1、已知x≤1，比较的大小． 变式：把本题中“x≤1”改为“x∈R”，再比较的大小． 2、设x，y是不全为零的实数，试比较的大小． 3、若P＝＋，Q＝＋(a>－5)，则P，Q的大小关系为(　　) A