期中真题必刷压轴30题（13个考点专练）-【满分全攻略】2023-2024学年高一数学同步讲义全优学案（沪教版2020必修第一册）

期中真题必刷压轴30题（13个考点专练） 一．元素与集合关系的判断（共8小题） 1．（2021秋•嘉定区校级期中）对于数集X＝{﹣1，x1，x2，x3，⋯，xn}，其中0＜x1＜x2＜x3＜⋯＜xn，n≥2，定义点集Y＝{（s，t）|s∈X，t∈X}，若对于任意（s1，t1）∈Y，存在（s2，t2）∈Y，使得s1s2+t1t2＝0，则称集合X具有性质P．则下列命题中为真命题的是 　 　． ①X＝{﹣1，1，2}具有性质P； ②若集合X具有性质P，则1∈X； ③集合X具有性质P，若，则xn＝1． 2．（2022秋•闵行区校级期中）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点（a，b）是点（c，d）的“上位点”．同时点（c，d）是点（a，b）的“下位点”； （1）试写出点（3，5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）已知点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，判断点是否是点（a，b）的“下位点”，证明你的结论； （3）设正整数n满足以下条件：对集合{t|0＜t＜2022，t∈Z}内的任意元素m，总存在正整数k，使得点（n，k）既是点（2022，m）的“下位点”，又是点（2023，m+1）的“上位点”，求满足要求的一个正整数n的值，并说明理由． 3．（2022秋•宝山区校级期中）对于任意有限集S，T，定义集合S﹣T＝{x|x∈S，x∉T}，|S|表示S的元素个数．已知集合A，B为实数集R的非空有限子集，设集合C＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}． （1）若A＝{1，2，3}，B＝{﹣1，1}，求集合C和|C|； （2）已知D为有限集，若D⊂（0，+∞），证明：|A﹣D|+|B﹣D|+|D﹣C|≥1． （3）若|C|＝3，求|A|•|B|的值． 4．（2022秋•虹口区校级期中）已知集合A＝{a1，a2，⋯，an}中的元素都是正整数，且a1＜a2＜⋯＜an．若对任意x，y∈A，且x≠y，都有成立，则称集合A具有性质M． （1）判断集合{1，2，3，4}是否具有性质M； （2）已知集合A具有性质M，求证：； （3）已知集合A具有性质M，求A中元素个数的最大值，并说明理由． 5．（2022秋•宝山区校级期中）已知，集合Sn＝{X|X＝（x1，x2，…，xn），xi＝0或1，i＝1，2，…，n}（n≥2），对于A＝（a1，a2，…，an）∈Sn，B＝（b1，b2，…，bn）∈Sn，定义A与B之间的距离为：d（A，B）＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|an﹣bn|． （1）对任意的A∈S2，B∈S2，请写出d（A，B）可能的值（不必证明）； （2）设P⊆S4，且P中有4个元素，记P中所有元素间的距离的平均值为（P），求（P）的最大值； （3）对A＝（a1，a2，…，an）∈Sn，B＝（b1，b2，…，bn）∈Sn，定义：A﹣B＝（|a1﹣b1|，|a2﹣b2|，…，|an﹣bn|）．求证：对任意的A，B，C∈Sn，有以下结论成立： ①d（A﹣C，B﹣C）＝d（A，B）； ②d（A，B）、d（B，C）、d（A，C）三个数中至少有一个是偶数． 6．（2021秋•浦东新区校级期中）对于任意有限集S，T，定义集合S﹣T＝{x|x∈S，x∉T}，|S|表示S的元素个数，已知集合A，B为实数集R的非空有限子集，设集合C＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}． （1）若A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，2}，求集合C及其元素个数|C|； （2）若|C|＝3，求|A|•|B|的值； （3）已知D为有限集，若D⊂（0，+∞），证明：|A﹣D|+|B﹣D|+|D﹣C|≥1． 7．（2021秋•徐汇区校级期中）已知集合A为非空数集，定义：S＝{x|x＝a+b，a，b∈A}，T＝{x|x＝|a﹣b|，a，b∈A}． （1）若集合A＝{1，3}，求证：2∈S，并直接写出集合T； （2）若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且T＝A，求证：x1+x4＝x2+x3； （3）若集合A⊆{x|0≤x≤2021，x∈N}，S∩T＝∅，记|A|为集合A中元素的个数，求|A|的最大值． 8．（2020秋•浦东新区校级期中）已知集合A＝{a1，a2，…an}中的元素都是正整数，且a1＜a2＜…＜an，集合A具有性质M：对于任意的x，y∈A（x≠y），都有． （Ⅰ）判断集合{1，2，3，4}是否具有性质M； （Ⅱ）求证：； （Ⅲ）求集合A中元素个数的最大值，并说明理由． 二．集合的表示法（共1小题） 9．（2022秋•黄浦区校级期中）对正整数n，记In＝{1，2，3，⋯，n}，． （1）用列举法表示集合P3； （2）求集合P7中元素的个数； （3）若集合A中任意两个元素之和都不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．已知