第3章 圆锥曲线与方程 章末达标测试(三)-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（湘教版）

章末达标测试（三） (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为60°，则双曲线C的离心率为(　　) A． B．2 C． D．2 解析：B　由题意可知，＝tan 60°＝， ∴离心率e＝＝＝＝2． 故选B． 2．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是(　　) A． B． C．1 D． 解析：B　抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，到双曲线x2－＝1的一条渐近线x－y＝0的距离为＝，故选B． 3．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是(　　) A．x2＝2y－1 B．x2＝2y－ C．x2＝y－ D．x2＝2y－2 解析：A　焦点为F(0，1)，设点P(p，q)，则p2＝4q．设点Q(x，y)是线段PF的中点，则x＝，y＝，即p＝2x，q＝2y－1，代入p2＝4q得，(2x)2＝4(2y－1)，即x2＝2y－1． 4．双曲线－＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为(　　) A． B． C． D． 解析：A　抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，故双曲线－＝1中，m>0，n>0且m＋n＝c2＝1　①，又e＝＝＝2　②，联立①②，解得m＝，n＝．故mn＝． 5．黄金分割起源于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，把称为黄金分割数．已知双曲线－＝1的实轴长与焦距的比值恰好是黄金分割数，则实数m的值为(　　) A．2－2 B．＋1 C．2 D．2 解析：A　在双曲线－＝1中，a2＝(－1)2，b2＝m，所以c2＝a2＋b2＝(－1)2＋m．因为双曲线的实轴长与焦距的比值为黄金分割数，则＝＝，所以＝()2＝，所以＝，解得m＝2－2．故选A． 6．以F1(－，0)，F2(，0)为焦点的椭圆与直线x－y＋2＝0有公共点，则满足条件的椭圆中长轴最短的为(　　) A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：C　设椭圆方程为＋＝1(a2>2)， 由得(2a2－2)x2＋4a2x＋10a2－a4＝0， 由题意可得Δ＝(4a2)2－4(2a2－2)(10a2－a4)≥0， ∴a4－7a2＋10≥0，∴a2≥5或a2≤2(舍)， ∴a＝5，此时椭圆的方程为＋＝1． 故选C． 7．过抛物线y2＝8x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点M在直线y＝2上，O为坐标原点，则△AOB的面积为(　　) A． B．4 C． D．9 解析：B　由抛物线y2＝8x，得F(2，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由题知 即(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)． 由题意知y1＋y2＝4，所以＝kAB＝2， 故直线l：y＝2(x－2)． 联立得y2－4y－16＝0， 所以y1＋y2＝4，y1y2＝－16． 故|y1－y2|＝ ＝＝4． 所以S△AOB＝|OF|·|y1－y2|＝×2×4＝4，即△AOB的面积为4，故选B． 8．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，过点F1的直线l1与过点F2的直线l2交于点N，线段F1N的中点为M，线段F1N的垂直平分线MP与直线l2的交点P(第一象限)在椭圆上．若O为坐标原点，则的取值范围为(　　) A．(0，) B． C．(0，) D．(0，1) 解析：D　如图所示，因为MP为线段F1N的垂直平分线，所以|PF1|＝|PN|． 在△F1NF2中，由中位线定理可得 |OM|＝|F2N|． 设点P(x0，y0)(x0>0，y0>0)， 设F1(－c，0)，F2(c，0)． 由两点间的距离公式， 得|PF1|＝ ＝＝＝a＋ex0，同理可得|PF2|＝a－ex0，所以|F2N|＝|PN|－|PF2|＝|PF1|－|PF2|＝2ex0，故|OM|＝ex0． 因为a＝8，c＝4，所以e＝＝， 故|OM|＝x0， 所以＝＝． 因为x0∈(0，8)，所以x0∈(0，1)． 故的取值范围为(0，1)． 故选D． 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分) 9．已知曲线C：mx2＋ny2＝1，则下列说法