3.5 圆锥曲线的应用-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（湘教版）

3．5　圆锥曲线的应用 [素养目标]　1．会从实际问题中抽象出圆锥曲线模型，并能够解答实际问题．　2．了解圆锥曲线在天体运动，物体斜抛、光学以及建筑中的应用．　3．培养数学建模、数学抽象、数学运算的学科素养． 理解1　椭圆的实际应用 【典例1】　2020年7月23日，我国成功发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星(其半径R＝34百公里)的中心F为右焦点的椭圆．已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最近的点)A到火星表面的距离为8百公里，远火星点(轨道上离火星表面最远的点)B到火星表面的距离为800百公里．假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为百公里时进行变轨，其中a，b分别为椭圆的长半轴长、短半轴长，求此时探测器与火星表面的距离(精确到1百公里)． 【解】　设探测器的运行轨道方程为＋＝1(a>b>0)，且c＝． ∵a＋c＝800＋34，a－c＝8＋34， ∴a＝438，c＝396． 于是b2＝a2－c2＝35 028． ∴探测器的运行轨道方程为＋＝1． 设变轨时，探测器位于点P(x0，y0)，则 x＋y＝ab≈81 975．1，① ＋＝1，② 由①②得x0≈239．7，y0≈156．7． ∴|PF|－R＝－R≈187． 故探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里． 处理与椭圆有关的实际问题的一般步骤是：首先结合所给的图形及题意建立适当的平面直角坐标系，然后利用相关的几何知识分析问题． 1．(多选题)如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点P第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是(　　) A．a1＋c1＝a2＋c2 B．a1－c1＝a2－c2 C．a2c1>a1c2 D．< 解析：BC 由题图可得a1>a2，c1>c2，∴a1＋c1>a2＋c2，故A不正确；∵在椭圆轨道Ⅰ中，|PF|＝a1－c1，在椭圆轨道Ⅱ中，|PF|＝a2－c2，∴a1－c1＝a2－c2，故B正确；由a1－c1＝a2－c2得(a1＋c2)2＝(a2＋c1)2，即a－c＋2a1c2＝a－c＋2a2c1，即b＋2a1c2＝b＋2a2c1，∵b1>b2，∴a2c1>a1c2，∴>，故C正确，D不正确．故选BC． 理解2　双曲线的实际应用 【典例2】　某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4 s．已知各观测点到该中心的距离都是1020 m．试确定该巨响发生的位置(假定当时的声音传播速度为340 m/s，相关各点均在同一平面上)． 【解】　如图所示，以接报中心为原点O，正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向，建立平面直角坐标系，设A，B，C分别是正西、正东、正北方向的观测点，则点A(－1020，0)，B(1020，0)，C(0，1020)． 设P(x，y)为巨响发生点，连接PA，PB，PC，AC，由A，C两处同时听到巨响声，得|PA|＝|PC|，故点P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y＝－x． ∵B点比A点晚4 s听到巨响声， ∴|PB|－|PA|＝340×4＝1360(m)． 由双曲线的定义知，点P在以A，B为焦点的双曲线－＝1(a>0，b>0)的左支上． 依题意，得a＝680，c＝1020， b2＝c2－a2＝10202－6802＝578 000． 故双曲线方程为－＝1． 又点P在y＝－x上，将y＝－x代入上式中， 得x＝±680． ∵|PB|>|PA|，∴x＝－680， 即点P(－680，680)， 故|PO|＝680(m)． ∴巨响发生在接报中心的北偏西45°距中心680 m处． 解答与圆锥曲线有关的数学应用题的关键是理解实际背景，根据题设条件确定所应用的曲线的类型，建立数学模型求解，进而得到最终结论． 2．某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形坑洞，挖出的土只能沿道路AP或BP运到P处(如图所示)．已知|AP|＝100，|BP|＝150，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工？ 解：如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设M是分界线(沿AP，BP到点P的路程相等的点的轨迹)上的点，连接MA，MB，则|MA|＋|AP|＝|MB|＋|BP|，于是有|MA|－|MB|＝|BP|－|AP|＝150－100＝50，这说明分界线是以A，B为左、右焦点的双曲线的右支，且a＝25．在△APB中，|AB|2＝|AP|2＋|BP|2－2|A