3.4 曲线与方程-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（湘教版）

3．4　曲线与方程 [素养目标]　1．了解曲线的方程与方程的曲线的关系．　2．会求曲线方程，能根据方程研究曲线的性质．　3．培养数学运算、逻辑推理的学科素养． 一、曲线的方程与方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程f(x，y)＝0之间具有如下关系： (1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解． (2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线上的点，则称曲线C为方程f(x，y)＝0的曲线，方程f(x，y)＝0为曲线C的方程． 理解1　曲线的方程与方程的曲线的概念的 应用 【典例1】　(1)方程(x＋y－2)·＝0表示的曲线是(　　) A．一个圆和一条直线 B．半个圆和一条直线 C．一个圆和两条射线 D．一个圆和一条线段 (2)如图所示，方程y＝表示的曲线是(　　) 【解析】　(1)(x＋y－2)·＝0变形为x2＋y2－9＝0或表示以原点为圆心，3为半径的圆和直线x＋y－2＝0在圆x2＋y2－9＝0外面的两条射线．故选C． (2)因为y＝＝ 所以函数值恒为正，且在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．故选B． 答案：(1)C　(2)B 判断方程表示什么曲线，常需要对方程进行变形，如配方、因式分解或利用符号法则、基本常识转化为熟悉的形式，然后根据化简后的特点判断．特别注意，方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程表示的曲线．另外，当方程中含有绝对值时，常运用分类讨论的思想． 1．方程 ·lg(x2＋y2－1)＝0所表示的曲线是(　　) 解析：D　原方程等价于＝0或lg(x2＋y2－1)＝0．所以x＝1或x2＋y2－1＝1，即x＝1或x2＋y2＝2． 另外，要使方程有意义，必须x－1≥0且x2＋y2>1，即x≥1，且当x＝1时y≠0，故选D． 理解2　曲线与方程关系的应用 【典例2】　已知方程x2＋(y－1)2＝10． (1)判断点P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M在此方程表示的曲线上，求m的值． 【解】　(1)因为12＋(－2－1)2＝10， ()2＋(3－1)2＝6≠10， 所以点P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，点Q(，3)不在此曲线上． (2)因为M在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上， 所以＋(－m－1)2＝10， 解得m＝2或m＝－． 判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断． 2．若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求k的取值范围． 解：因为曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，所以a2＋a2＋2a＋k＝0． 所以k＝－2a2－2a＝－2＋． 所以k≤． 所以k的取值范围是． 二、用坐标法研究平面曲线的基本方法 1．在平面上建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意一点的坐标． 2．将曲线上的点满足的几何条件转换成该点的坐标(x，y)满足的代数等式，得到曲线的方程． 3．确定曲线的方程后，通过研究方程的性质得到曲线的几何性质． 理解3　求曲线的方程 角度1　直接法 【典例3】　动点P(x，y)到两定点A(－3，0)和B(3，0)的距离的比值等于2，求动点P的轨迹方程． 【解】　∵|PA|＝， |PB|＝， ∴＝＝2，即(x＋3)2＋y2＝4(x－3)2＋4y2， 化简得(x－5)2＋y2＝16， 故动点P的轨迹方程为(x－5)2＋y2＝16． 直接法求曲线方程的思路 当动点直接与已知条件发生联系时，在设曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据题设条件运用基本公式(如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、面积公式等)将文字语言变换成含有x，y的关系式的数学语言，从而得到轨迹方程．由于这种求轨迹方程的方法不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，因此称为直接法． 3．已知△ABC的一边的两个顶点B(－a，0)，C(a，0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0)．求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形． 解：设顶点A的坐标为(x，y)，则 kAB＝(x≠－a)，kAC＝(x≠a)． 由题意，得·＝m(x≠±a)， 即－＝1(y≠0)． 当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)；当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，其中当－1<m<0时，椭圆焦点在x轴上；当m<－1时，椭圆焦点在y轴上；当m＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a的圆(除去与x轴的两个交点)． 角度2　定义法 【典例4】　有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD，按如图所示方式进行折叠，使每次折叠后点B都落在AD边上，此时将B记为B′(注：图中EF为折