2.4 点到直线的距离-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（湘教版）

2．4　点到直线的距离 [素养目标]　1．探索并掌握两点间的距离．　2．探索并掌握点到直线的距离公式及有关应用．　3．会求两条平行直线间的距离及解决两平行直线间的距离问题．　4．培养学生数学运算的学科素养． 一、两点间的距离 1．点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ ． 2．原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝ ． 理解1　两点间的距离公式及应用 【典例1】　(1)已知点A(－3，4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值； (2)已知点M(x，－4)与点N(2，3)间的距离为7，求x的值． 【解】　(1)设点P的坐标为(x，0)，则有 |PA|＝ ＝， |PB|＝ ＝ ． 由|PA|＝|PB|， 得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7， 解得x＝－． 故所求点P的坐标为． |PA|＝ ＝． (2)由|MN|＝7， 得|MN|＝ ＝7， 即x2－4x－45＝0， 解得x1＝9或x2＝－5． 故所求x的值为9或－5． 若已知两点的坐标P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，求两点间的距离，可直接应用两点间的距离公式|P1P2|＝．若已知两点间的距离，求点的坐标，可设未知数，逆用两点间的距离公式列出方程，从而解决问题． 1.在△ABC中，已知A(－3，1)、B(3，－3)、C(1，7)．若M为BC的中点，求证：AM⊥BC且|AM|＝|BC|． 证明：设点M的坐标为(x，y)， ∵点M为BC的中点， ∴x＝＝2，y＝＝2， 即点M的坐标为(2，2)． 由两点间的距离公式得 |AM|＝＝， 而|BC|＝2， ∴|AM|＝|BC|． 又kAM＝，kBC＝＝－5， ∴kAM·kBC＝－1， ∴AM⊥BC． 二、点到直线的距离 　点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足， d＝． 当A＝0，或B＝0时，上述公式仍然成立． 理解2　点到直线的距离公式及应用 【典例2】　分别求点P(3，－2)到下列直线的距离． (1)3x－4y＋1＝0；(2)y＝6；(3)x＝0． 【解】　(1)根据点到直线的距离公式得 d＝＝． (2)因为直线y＝6平行于x轴， 所以d＝|6－(－2)|＝8． (3)d＝|3|＝3． 2．(多选题)若点P(3，a)到直线x＋y－4＝0的距离为1，则a的值可以为(　　) A．　　　　　　 B．－ C．－ D． 解析：选AB．由点到直线的距离公式得＝1，解得a＝或a＝－． 三、两条平行线间的距离 1．求两条平行线间的距离时，可转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离． 2．两条平行线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0间的距离公式为d＝(x、y的系数均应分别为A、B)． 理解3　两条平行线间的距离及应用 【典例3】　(1)两条直线l1：3x＋y－3＝0，l2：6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为(　　) A．4 B． C． D． 【解析】　D　∵l1∥l2，∴3×m－6×1＝0， ∴m＝2． ∴直线l2的方程为6x＋2y＋1＝0，即3x＋y＋＝0． 法一：根据两平行直线间的距离公式，得d＝＝． 法二：在l1上取一点M(0，3)，则点M到l2的距离 d＝＝即为所求． (2)已知直线l1过点A(0，1)，l2过点B(5，0)，如果l1∥l2，且l1与l2之间的距离为5，求l1，l2的方程． 【解】　当直线l1，l2斜率存在时，设直线l1，l2的斜率为k，由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，由点斜式得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，在直线l1上取一点A(0，1)，则点A到直线l2的距离d＝＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25， ∴k＝，∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0． 若直线l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件． 综上可知，满足条件的直线方程有两组，即l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或l1：x＝0，l2：x＝5． 由两平行直线间的距离求直线方程通常有两种思路：①设出所求直线方程后，在其中一条直线上取一点，利用点到直线的距离公式求解；②直接运用两平行直线间的距离公式求解． 3．求与两条平行直线l1：2x－3y＋4＝0与l2：2x－3y－2＝0距离相等的直线l的方程． 解：设所求直线l的方程为2x－3y＋C＝0． 由直线l与两条平行线的距离相等， 得＝， 即|C－4|＝|C＋2|， 解得C＝1． 故直线l的方程为2x－3y＋1＝0． 理解4　距离的综合应用 【典例4】　两条互相平行的直线分别过