2.3 两条直线的位置关系-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（湘教版）

2．3　两条直线的位置关系 2．3．1　两条直线平行与垂直的判定 [素养目标]　1．理解并掌握两条直线平行及垂直的条件．　2．会运用条件判定两直线是否平行或垂直．　3．运用两直线平行或垂直的关系解决相应的几何问题．　4．培养逻辑推理及数学运算的学科素养． 一、两条直线平行的判定 1．设两条不重合的直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时分别为k1，k2，则对应关系如下： 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线斜率都不存在 图示 2．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔法向量平行⇔A2＝λA1，B2＝λB1，C2≠λC1，λ为非零实数⇔ 理解1　两条直线平行的判定与应用 【典例1】　(1)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是(　　) A．1或3　　　　　　 B．1或5 C．3或5 D．1或2 【解析】　C　法一：将直线l1化为斜截式，得y＝x＋(k－4≠0)， 当k－4＝0即k＝4时l1的斜率不存在，l2的斜率k2＝1，显然l1与l2不平行， 因此，直线l1的斜率k1＝，它在y轴上的截距b1＝． 将直线l2化为斜截式，得y＝(k－3)x＋． 因此，直线l2的斜率k2＝k－3，它在y轴上的截距b2＝． 因为l1∥l2，所以k－3＝且≠， 解得k＝3或5，故选C． 法二：因为l1∥l2，所以存在非零实数λ， 使解得k＝3或5． (2)过点P(－1，3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为(　　) A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0 C．x－2y＋7＝0 D．x－2y＋5＝0 【解析】　C　法一：设所求直线l1的方程为y＝x＋b． 将点P(－1，3)的坐标代入上述方程， 得3＝－＋b，解得b＝． 因此所求直线方程为y＝x＋即x－2y＋7＝0，故选C． 法二：设所求直线的方程为x－2y＋C＝0， 将点P(－1，3)的坐标代入上述方程得－1－6＋C＝0，解得C＝7． 因此所求直线方程为x－2y＋7＝0，故选C． 1．直线l1：(m＋2)x＋(m2－3m)y＋4＝0，l2：2x＋4(m－3)y－1＝0，如果l1∥l2，求m的值． 解：(1)当l1，l2斜率都存在时， 所以m≠0且m≠3． 由l1∥l2，得－＝－， 解得m＝－4． 此时l1：x－14y－2＝0，l2：x－14y－＝0， 显然，l1与l2不重合，满足条件． (2)当l1，l2斜率不存在时， 解得m＝3． 此时l1：x＝－，l2：x＝，满足条件． 综上所述，m＝－4或m＝3． 二、两条直线垂直的判定 1．两条直线的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔方向向量垂直⇔(1，k1)·(1，k2)＝1＋k1k2＝0⇔k1·k2＝－1． 2．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2⇔法向量垂直⇔(A1，B1)·(A2，B2)＝A1A2＋B1B2＝0． 理解2　两条直线垂直的判定与应用 【典例2】　(1)已知直线l1：x＋ay＋1＝0与l2：x－y＋1＝0垂直，则a＝________． 【解析】　显然l2斜率存在且为1，又因为两直线垂直，所以l1斜率为－1，即－＝－1，解得a＝1． 【答案】　1 (2)△ABC的三个顶点分别为A(2，0)，B(4，4)，C(0，3)，求： ①AC边所在直线的方程； ②AC边的垂直平分线DE所在直线的方程． 【解】　①直线AC的斜率为k＝－， 由点斜式得直线方程为y－0＝－(x－2)． 即3x＋2y－6＝0， ②由①知，直线AC的斜率为k＝－，AC⊥DE， 直线DE斜率为，线段AC的中点坐标为， 由点斜式可得直线DE的方程为y－＝(x－1)，即4x－6y＋5＝0． 判断两直线垂直的方法 1．若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件： l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0判断． 2．若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用条件：l1⊥l2⇔k1·k2＝－1判断． 3．若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程化为一般式再判断． 2．已知直线l1：(1－a)x＋ay－2＝0，l2：ax＋(2a＋1)y＋3＝0，若l1⊥l2，则a的值为(　　) A．0或2　　　　　 B．0或－2 C．2 D．－2 解析：B　由l1⊥l2得(1－a)·a＋a·(2a＋1)＝0，解得a＝0或－2，故选B． 理解3　两直线平行与垂直的综合应用 【典例3】　已知点A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)． 【解】　设所求点D的坐标为(x，