2.2 直线的方程-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步核心辅导与测评（湘教版）

2．2．2　直线的两点式方程 [素养目标]　1．掌握直线的两点式方程的形式，特点及适用范围．　2．了解直线的截距式方程的形式、特点及适用范围．　3．能用直线的两点式和截距式方程解决有关问题．　4．培养逻辑推理、直观想象和数学运算素养． 一、直线的两点式方程 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 两点式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2 ＝ 斜率存在且不为0 理解1　直线的两点式方程 【典例1】　(1)过(1，2)，(5，3)的直线方程是(　　) A．＝　　　　 B．＝ C．＝ D．＝ 【解析】　B　所求直线过点(1，2)，(5，3)， 将两点坐标代入两点式，得＝． (2)已知点A(1，2)，B(－1，－2)，则直线AB的方程是________． 【解析】　因为直线的两点式方程为＝， 将点A(1，2)，B(－1，－2)代入，得 ＝， 整理得直线AB的方程是2x－y＝0． 【答案】　2x－y＝0 利用两点式求直线方程的步骤 1．首先判断所给两点的横坐标与纵坐标是否分别相等． 2．若两点的横坐标与纵坐标均不相等，可直接代入公式求解． 提醒：代入点的坐标时要注意横、纵坐标的对应关系． 1．已知三角形的顶点是A(1，3)，B(－2，－1)，C(1，－1)，求这个三角形三边所在直线的方程． 解：直线AB过A(1，3)，B(－2，－1)，其两点式方程为＝， 整理，得4x－3y＋5＝0，这就是边AB所在直线的方程． 直线AC垂直于x轴，故AC边所在直线的方程为x＝1． 直线BC平行于x轴，故BC边所在直线的方程为y＝－1． 二、直线的截距式方程 1．直线在x轴上的截距 把直线l与x轴的交点(a，0)的横坐标称为直线l在x轴上的截距． 2．直线的截距式方程 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 截距式 在x，y轴上的截距分别为a，b ＋＝1 a≠0，b≠0 理解2　直线的截距式方程 【典例2】　求经过点A(5，2)，且满足下列条件的直线方程． (1)在坐标轴上的截距互为相反数； (2)在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍． 【解】　(1)法一：①当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0； ②当直线l在坐标轴上的截距不为0时， 可设方程为＋＝1，即x－y＝a， 又∵l过点A(5，2)，∴5－2＝a，a＝3， ∴l的方程为x－y－3＝0， 综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0． 法二：由题意知直线的斜率一定存在． 设直线的点斜式方程为y－2＝k(x－5)， x＝0时，y＝2－5k，y＝0时，x＝5－． 根据题意得2－5k＝－， 解得k＝或k＝1． 当k＝时，直线方程为y－2＝(x－5)，即2x－5y＝0； 当k＝1时，直线方程为y－2＝1×(x－5)， 即x－y－3＝0． (2)①当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0符合题意； ②当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为＋＝1， 又l过点(5，2)，∴＋＝1， 解得a＝． ∴l的方程为x＋2y－9＝0． 综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x＋2y－9＝0． 应用截距式方程的注意事项 1．如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用直线的截距式方程，用待定系数法确定其系数即可． 2．选用直线的截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． 3．要注意直线的截距式方程的逆向应用． 2．直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为(　　) A．1　　　　　　　 B．－1 C．7 D．－7 解析：B　直线在x轴上截距为3，在y轴上截距为－4，因此截距之和为－1． 1．过两点(1，2)和(3，4)的直线的方程为(　　) A．＝　　　 B．＝ C．＝ D．＝ 解析：C　由直线的两点式方程知，选C． 2．已知△ABC三顶点A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在的直线方程为(　　) A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0 C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0 解析：A　点M的坐标为(2，4)，点N的坐标为(3，2)，由两点式方程得＝，即2x＋y－8＝0． 3．若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3，4)的直线上，则m＝________． 解析：由两点式方程得，过A，B两点的直线方程为＝，即x＋y－1＝0． 又点P(3，m)在直线AB上，所以3＋m－1＝0，得m＝－2． 答案：－2 4．直线ax＋by＝1(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是________． 解析：直线在两坐标轴上的截距分别为与，所以直线与坐标轴围成的三角形面积为． 答案： 基础巩固 1