2.4 空间向量在立体几何中的应用-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（湘教版）

2.4　空间向量在立体几何中的应用 2．4.1　空间直线的方向向量和平面的法向量 [素养目标]　1.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念.2.会用待定系数法求平面的法向量.3.培养直观想象、逻辑推理、数学运算的学科素养． 一、直线的方向向量 1．空间中点的位置向量 在空间中，取一定点O作为原点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 2．直线的方向向量 (1)定义：一般地，如果非零向量v与直线l平行，就称v为l的方向向量． (2)已知空间直线l上一个定点A以及这条直线的一个方向向量，就可以确定这条空间直线的位置． 理解1　直线的方向向量 【典例1】　(1)若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(1，2，3)　　　　 B．(1，3，2) C．(2，1，3) D．(3，2，1) 【解析】　由题意可得：直线l的一个方向向量＝(2，4，6)，又(1，2，3)＝(2，4，6)， ∴(1，2，3)是直线l的一个方向向量． 【答案】　A (2)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于(　　) A．0 B．1 C． D．3 【解析】　∵A(0，y，3)，B(－1，2，z)， ∴＝(－1，2－y，z－3)， ∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)． 故设＝km， ∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k. 解得k＝－，y＝z＝. ∴y－z＝0. 【答案】　A 求直线的方向向量的方法 (1)在直线l上确定两点A，B，则或就是直线l的方向向量． (2)在与直线l平行的直线m上确定两点A1，B1，则或就是直线l的方向向量． 1．(多选题)若M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　) A．(2，2，6) B．(1，1，3) C．(3，1，1) D．(－3，0，1) 解析：AB　∵M，N在直线l上，∴＝(1，1，3)，故向量(1，1，3)，(2，2，6)都是直线l的一个方向向量． 2．从点A(2，－1，7)沿向量a＝(8，9，－12)的方向取线段长||＝34，则B点的坐标为(　　) A．(18，17，－17) B．(－14，－19，17) C． D． 解析：A　设B点坐标为(x，y，z)，则＝λa(λ>0)，即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8，9，－12)．因为||＝34，即＝34，解得λ＝2，所以x＝18，y＝17，z＝－17. 二、平面的法向量 1．定义：如果非零向量n所在直线与平面α垂直，则称n为平面α的法向量． 2．给定一点A和一个向量n，那么，过点A，且以向量n为法向量的平面完全确定． 理解2　求平面的法向量 【典例2】　如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量． 【解】　因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形， 所以AB，AD，AP两两垂直． 如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，，0)，P(0，0，1)，E(0，，)，C(1，，0)，于是＝(0，，)，＝(1，，0)． 设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量， 则即 所以 令y＝－1，则x＝z＝. 所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，)． 待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，. (3)列方程组：由列出方程组． (4)解方程组： (5)赋非零值：取x，y，z其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 3.如图，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，求平面SCD与平面SBA的一个法向量． 解：因为AD，AB，AS是三条两两垂直的线段，所以以A为原点，以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，则A(0，0，0)，D(，0，0)，C(1，1，0)，S(0，0，1)，由题意，知＝(，0，0)是平面SAB的一个法向量，设平面SCD的一个法向量为n＝(1，λ，u)，则n·＝(1，λ，u)·(，1，0)＝＋λ＝0，所以λ＝－.n·＝(1，λ，u)·(－，0，1)＝－＋u＝0，所以u＝，所以n＝(1，－，)．综上，平面SCD的一个法向量为n＝(1，－，)，平面SBA的一个法向量为＝(，0，0). 1．直线l1，l2的方向向量分别为v1＝(3，0，1)，v2＝(－1，0，m)，若l1∥l2，则m等于(　　) A．