2.2 空间向量及其运算-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（湘教版）

2．2　空间向量及其运算 第1课时　空间向量及其线性运算 [素养目标]　1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的线性运算及其法则推广到空间向量的过程，掌握空间向量的线性运算及其运算律.3.掌握空间向量共线的条件及其应用.4.发展数学抽象、逻辑推理、数学运算的学科素养． 一、空间向量的基本概念 1．空间向量的定义及表示 定义 空间中既有大小又有方向的量称为空间向量 长度 或模 空间向量的大小(或长度)称为空间向量的模 表 示 方 法 几何 表示 与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模 符号 表示 空间向量常用一个小写字母表示．如：向量a，b，c，…，其模分别记为|a|，|b|，|c|，… 空间向量也可以用有向线段表示．如图所示，向量a也可记作，其模记为|a|或|| 2.几类常见的空间向量 (1)零向量：长度为0的向量，记作0，零向量的方向是任意的． (2)相等向量：方向相同且长度相等的向量． (3)相反向量：方向相反且长度相等的向量． (4)单位向量：长度为1的向量称为单位向量，与a方向相同的单位向量为e＝a． (5)共线向量：对于空间中的任意两个向量a，b(a≠0)，若b＝λa，其中λ为实数，则b与a共线或平行，记作b∥a． 理解1　空间向量的有关概念及简单应用 【典例1】　给出下列结论： ①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝±b； ③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p； ④空间中任意两个单位向量必相等； ⑤在如图1所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有＝； 图1　　　　　　　图2 ⑥如图2，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′的所有棱对应的向量中，与相等的向量有3个． 其中正确的是________．(填序号) 【解析】　当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个相等向量不一定起点相同，终点也相同，故①错误； 要保证两向量相等，则需模相等且方向相同，要保证两向量是相反向量，则需模相等且方向相反，但②中仅给出向量a与向量b的模相等，所以这两个向量不一定为相等向量或相反向量，故②错误； 命题③是相等向量的传递性，显然正确； 空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故④错误； 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量与的方向相同，模也相等，所以＝，故⑤正确； 在平行六面体ABCD-A′B′C′D′的所有棱对应的向量中，与相等的向量分别为，，，故⑥正确． 【答案】　③⑤⑥ 1．在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同． 2．由于向量是由其模和方向确定的，因此解答空间向量有关概念问题时，通常抓住这两点来解决． 3．零向量是一个特殊向量，其方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性． 1．下列说法正确的是(　　) A．若|a|<|b|，则a<b B．若a，b为相反向量，则a＋b＝0 C．空间内两平行向量相等 D．在四边形ABCD中，－＝ 解析：D　向量的模有大小，但向量不能比较大小，A错误；相反向量的和为0，不是0，B错误；相等向量满足模相等，方向相同两个条件，平行向量不一定具备，C错误；D正确． 2．如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，顶点连接的所有向量中，与向量相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量) 解析：根据相等向量的定义知，与向量相反的向量有，，，. 答案：，，， 理解2　空间向量的共线问题 【典例2】　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且＝，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线． 【证明】　连接AO，AC1，A1C1(图略)． ∵＝， ∴＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋. ∵＝2，＝＋＝－＝－2， ∴＝(－2)＋＝＋. 又＋＝1，故C1，O，M三点共线． 判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a＝λb成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形通过化简，计算得出a＝λb，从而得到a∥b.由、共线，可得出A、B、C三点共线． 3.如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则与是否共线？ 解：法一：∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形， ∴＝＋＋ ＝＋＋.① 又＝＋＋＋ ＝－＋－－，② ①＋②得2＝， ∴∥，即与共线． 法二：∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形， ∴＝－＝(＋)－ ＝(＋)－(＋) ＝(－)＝(－)＝. ∴∥，即与