1.3 导数在研究函数中的应用-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（湘教版）

1.3　导数在研究函数中的应用 1．3.1　函数的单调性与导数 [素养目标]　1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.会用导数求函数的单调区间，能够根据函数的单调性求参数.4.培养数学抽象、数学运算、逻辑推理的学科素养． 一、函数的单调性与导数的关系 1．一般地，函数f(x)的单调性与其导数的正负之间有如下法则： (1)若在区间(a，b)内，f′(x)>0，则函数f(x)在此区间内单调递增，(a，b)为f(x)的单调递增区间； (2)若在区间(a，b)内，f′(x)<0，则函数f(x)在此区间内单调递减，(a，b)为f(x)的单调递减区间． 2．函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，这时函数的图象就比较“平缓”． 理解1　原函数与导函数图象之间的关系 【典例1】　(1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　) (2)函数f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　) (3)函数y＝f(x)在定义域(－，3)内可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)<0的解集为________． 【解析】　(1)在区间(－1，1)上，f′(x)>0，因此函数y＝f(x)在区间(－1，1)上为增函数，易知四个选项都符合．在区间(－1，0)上，f′(x)单调递增，故y＝f(x)在区间(－1，0)上增加得越来越快，函数图象应为指数增长的模式；在区间(0，1)上，f′(x)单调递减，故y＝f(x)在区间(0，1)上增加得越来越慢，函数图象应为对数增长的模式．B选项符合． (2)从函数y＝f(x)的图象可以看出，其在区间(－∞，0)上是减函数，f′(x)<0；在区间(0，x1)上是增函数，f′(x)>0；在区间(x1，x2)上是减函数，f′(x)<0；在区间(x2，＋∞)上是增函数，f′(x)>0.结合选项可知，只有D项满足． (3)函数y＝f(x)在区间(－，1)和区间(2，3)上单调递减，所以在区间(－，1)和区间(2，3)上，y＝f′(x)<0，所以f′(x)<0的解集为(－，1)∪(2，3)． 【答案】　(1)B　(2)D　(3)(－，1)∪(2，3) 函数与导数图象间的关系 判断函数与导数图象间的对应关系时，首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象，其次再注意以下两个方面： (1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性． (2)导数与函数图象的关系． ① ② 函数值增加得越来越快 函数值增加得越来越慢 f′(x)>0且越来越大 f′(x)>0且越来越小 ③ ④ 函数值减少得越来越快 函数值减少得越来越慢 f′(x)<0且越来越小，绝对值越来越大 f′(x)<0且越来越大，绝对值越来越小 1．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数图象如图所示，则y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　) 解析：B　两个导函数的图象都在x轴上方说明两个函数都是增函数，y＝f′(x)的函数值由小到大，说明y＝f(x)的图象越来越“陡峭”，y＝g′(x)的函数值由大到小，说明y＝g(x)的图象越来越“平缓”． 理解2　利用导数求函数的单调区间 【典例2】　求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝3x2－2ln x； (2)f(x)＝x2·e－x； (3)f(x)＝x＋. 【解】　(1)易知函数的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝6x－，令f′(x)＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)，用x1分割定义域，得下表： x (0，) (，＋∞) f′(x) － ＋ f(x)   ∴函数f(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，＋∞)． (2)易知函数的定义域为(－∞，＋∞)． f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x·(2x－x2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) (0，2) (2，＋∞) f′(x) － ＋ － f(x)    ∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0，2)． (3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋