1.1 导数概念及其意义-【高考领航】2023-2024学年高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评（湘教版）

1．1　导数概念及其意义 1．1.1　函数的平均变化率 [素养目标]　1.理解函数的平均变化率的概念.2.会求物体运动的平均速度.3.会求函数在某点附近的平均变化率.4.培养数学抽象、直观想象的学科素养． 一、平均速度 若物体在任何时刻t的位置均可用f(t)表示，则从时刻a到时刻b的位移为f(b)－f(a)，所花时间为b－a，所以在时间段[a，b]内物体运动的平均速度v[a，b]＝． 理解1　求平均速度 【典例1】　已知质点M做直线运动，且位移(单位：cm)随时间(单位：s)变化的函数为s(t)＝2t2＋6. (1)求它在时间段[2，2.01]内的平均速度； (2)求它在时间段[2，2.001]内的平均速度． 【解】　(1)物体在时间段[2，2.01]内的平均速度为 ＝ ＝8.02 (cm/s)． (2)物体在时间段[2，2.001]内的平均速度为 ＝ ＝8.002 (cm/s)． 求平均速度的步骤 物体的运动方程为s＝f(t)，求在区间[a，b]内的平均速度的步骤如下： (1)求时间改变量b－a； (2)求位移的变化量f(b)－f(a)； (3)求平均速度. 1．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为(　　) A．2　　 B．1　　 C．－1　　 D．6 解析：B　由已知，得＝26，所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1. 二、函数的平均变化率 1．定义：一般地，函数y＝f(x)，自变量x从a变化到b，相应的函数值y从f(a)变化到f(b)．这时，x的变化量为b－a，y的变化量为f(b)－f(a)．我们把称为函数f(x)在区间[a，b]内的平均变化率． 2．实质：函数值的变化量与自变量的变化量之比． 3．作用：刻画函数值在区间[a，b]上变化的快慢． 4．几何意义：A(a，f(a))，B(b，f(b))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率就是直线AB的斜率． 理解2　求函数的平均变化率 【典例2】　某人拉一车前行，他所做的功(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，其函数关系式为W(t)＝t3－2t＋1.求t从1 s变化到3 s时，功关于时间t的平均变化率． 【解】　当t从1 s变化到3 s时， 功W从W(1)＝13－2＋1＝0 (J)变化到W(3)＝33－2×3＋1＝22 (J)， 则平均变化率为＝＝11 (J/s)． 1．求函数平均变化率的步骤 第一步，求自变量的增量b－a； 第二步，求函数值的增量f(b)－f(a)； 第三步，求平均变化率. 2．求平均变化率的一个关注点 求点x0附近的平均变化率，可用的形式． 2．如图所示，函数y＝f(x)在[1，3]上的平均变化率为(　　) A．1　　 B．－1　　　 C．2　　 D．－2 解析：B　＝＝－1. 1．函数y＝2x＋1在(1，2)内的平均变化率为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：C　当x＝1时，y＝3，当x＝2时，y＝5， 故函数y＝2x＋1在(1，2)内的平均变化率为＝2. 2．(多选题)自由落体运动的公式为s＝s(t)＝gt2(g＝10 m/s2)，若v＝，则下列说法不正确的是(　　) A．v是在0～1 s这段时间内的速度 B．v是1 s到(1＋d) s这段时间内的速度 C．5d＋10是物体在t＝1 s这一时刻的速度 D．5d＋10是物体从1 s到(1＋d) s这段时间内的平均速度 解析：ABC　由平均速度的概念知：v＝＝5d＋10.故D正确． 3.如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________． 解析：由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上平均变化率分别为：，，，结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]． 答案：[x3，x4] 4．某人服药后，吸收药物的情况可以用血液中药物的质量浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是关于时间t(单位：min)的函数，表示为c＝c(t)，下表给出了c(t)的一些函数值： t 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 c(t) 0.84 0.89 0.94 0.98 1.00 1.00 0.97 0.90 0.79 0.63 求此人服药后30 min到70 min血液中药物的质量浓度的平均变化率． 解：易得此人服药后30 min到70 min血液中药物的质量浓度的平均变化率为＝＝－0.002 (mg/(mL·min)). 基础巩固