第5章 三角函数 章末总结-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（湘教版）

章末总结 1．与三角函数有关的图解识别问题——直观想象 解决函数图象的识别问题的关键在于：通过研究函数的性质(如奇偶性、周期性、单调性、有界性)，特殊点(如顶点、端点、与坐标轴的交点等)和特殊线(如对称轴、渐近线等)来排除有关选项，进而确定正确选项． ►【例1】　(1)(2020·新高考全国卷Ⅰ)(多选题)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝(　　) A．sin B．sin C．cos D．cos 【解析】　选BC　由题图知＝－＝，得T＝π，所以ω＝＝2．又图象过点， 由“五点法”，结合图象可得φ＋＝π，即φ＝， 所以sin(ωx＋φ)＝sin，故A错误； 由sin＝sin＝sin知B正确； 由sin＝sin＝cos知C正确； 由sin＝cos＝cos ＝－cos知D错误． 综上可知，正确的选项为BC． (2)(2020·高考浙江卷)函数y＝xcos x＋sin x在区间[－π，π]的图象大致为(　　) 【解析】　选A　因为函数y＝xcos x＋sin x为奇函数，所以图象关于原点对称，排除C、D，因为当x＝π时，y＝－π<0，排除B，故选A． 2．三角函数的值域或最值问题——数学运算、逻辑推理 求三角函数的最值问题通常有以下四种途径：(1)将所求三角函数式转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式，然后结合角x的取值范围求最值；(2)将所求三角函数式变形转化为关于sin x(或cos x)的二次函数的形式，然后结合二次函数的性质求解；(3)利用正弦函数、余弦函数的有界性求最值；(4)利用换元法求最值．同时一般函数求值域的方法(如分离常量法、判别式法、图象法等)在三角函数中也适用． ►【例2】　求函数y＝(0<x<π)的最大值． 【解】　设cos x＝m，sin x＝t. ∴m2＋t2＝1， 如图，点(m，t)在单位圆m2＋t2＝1上半圆上运动， ∴y＝表示点(m，t)与点(－2，0)连线的斜率k， 当直线与上半圆相切时， k取最大值，设切于点M，又A(－2，0)， 在Rt△AOM中，tan ∠OAM＝＝＝， ∴ymax＝. 3．三角函数的实际应用——数学建模、逻辑推理、数学运算 ►【例3】　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示． (1)求函数f(x)的解析式及f(x)图象的对称轴； (2)把函数y＝f(x)图象上点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求关于x的方程g(x)＝m(0<m<2)在x∈时所有的实数根之和． 【解】　(1)由题图知周期T＝－＝π， ∴ω＝＝2． ∵点在函数图象上， ∴Asin＝0，即sin＝0，又∵－<φ<，∴－<φ－<，从而φ＝．又点(0，1)在函数图象上，∴1＝Asin ，∴A＝2．故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin．令2x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，即直线x＝＋，k∈Z为函数f(x)图象的对称轴． (2)依题意，得g(x)＝2sin， ∵g(x)＝2sin的周期T＝2π， ∴g(x)＝2sin在内有2个周期．令x＋＝kπ＋(k∈Z)，则x＝＋kπ(k∈Z)，即函数g(x)＝2sin的对称轴为直线x＝＋kπ(k∈Z)． 又x∈，∴x＋∈[0，4π]，∵0<m<2， ∴g(x)＝m(0<m<2)在内有4个实数根，不妨从小到大依次设为xi(i＝1，2，3，4)，则＝，＝，∴关于x的方程g(x)＝m(0<m<2)在x∈时，所有的实数根之和为x1＋x2＋x3＋x4＝． 学科网（北京）股份有限公司 $$