第五章：三角函数知识归纳与题型突破（20类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（湘教版2019必修第一册）

第五章：三角函数 知识点1 任意角与弧度制 1、角的概念的推广 （1）任意角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 （2）角的分类： ①正角：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角； ②负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角； ③零角：一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角 （3）象限角的定义与表示：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角。 象限角 集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 （4）轴线角的定义与表示：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角。 角的终边位置 集合表示 轴的非负半轴 轴的非正半轴 轴上 轴非负半轴 轴非正半轴 轴上 2、弧度制 （1）角度制与弧度制的定义 ①规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. ②弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. （2）角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 （3）弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下： 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 知识点2 任意角的三角函数 1、任意角三角函数的定义 （1）三角函数的定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，则： 叫做的正弦函数，记作.即； 叫做的余弦函数，记作.即； 叫做的正切函数，记作.即。 （2）三角函数的符号：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 2、同角三角函数的基本关系 （1）平方关系与商数关系 ①平方关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1 ②商数关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切 （2）基本关系的推广公式 ① ② 3、诱导公式 诱导公式一：，，，其中 诱导公式二： ，，，其中 诱导公式三： ，，，其中 诱导公式四：，，，其中 诱导公式五：，，其中 诱导公式六：，，其中 知识点3 三角函数的图象与性质 图象 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 时， 时， 时， 时， 周期性 奇偶性 奇 偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 对称性 对称轴方程： 对称中心 对称轴方程： 对称中心 对称中心 知识点4 函数y＝Asin(ωx＋φ) 1、A、φ、ω的含义 （1）A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅． （2）φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位． （3）ω决定了函数的周期． 2、函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的画法 五点法：要找五个关键点，如下表所示. x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3、三角函数图象的变换 （1）振幅变换：要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到． （2）平移变换：要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到． （3）周期变换：要得到函数y＝sinωx(x∈R)（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到． （4）函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 知识点5 三角函数模型的简单应用 1、三角函数模型问题的几种类型 （1）由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质． （2）由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性． （3）利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题． 2、解三角函数应用问题的基本步骤 （1）审清题意：读懂题目中“文字”“图象”“符号”等语言，理解所反映的实际问题的背景，得出相应的数学问题； （2）建立函数模型：整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系，即建立三角函数模性； （3）解答函数模型：利用所学的三角函数知识解答所得到的三角函数模型，求得结果； （4）得出结论：使所得结论翻译成实际问题的答案． 题型一 终边相同的角的表示 【例1】（23-24高一上·陕西宝鸡·月考）下列选项中，与角终边相同的角是（    ） A． B． C．310° D．330° 【变式1-1】（23-24高一上·江苏南通·月考）的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-2】（23-24高一上·湖南长沙·期末）将化为的形式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高一下·河南·月考）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 题型二 象限角的判定 【例2】（23-24高一上·江苏连云港·月考）如果是第三象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第一或第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【变式2-1】（22-23高一下·北京·期中）设是第二象限角，则的终边在（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 【变式2-2】（23-24高一上·陕西铜川·月考）已知α锐角，那么2α是（    ） A．小于180°的正角 B．第一象限角 C．第二象限角 D．第一或二象限角 【变式2-3】（23-24高一上·云南曲靖·月考）（多选）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角 题型三 角度制与弧度制的换算 【例3】（23-24高一上·贵州黔南·月考）将化为弧度是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一上·四川泸州·月考）化为角度是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一上·福建龙岩·月考）（多选）将下列角度与弧度进行互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高一下·安徽淮北·月考）（多选）下列说法正确的是（    ） A．化成弧度是 B．化成角度是18° C．化成弧度是 D．化成角度是 题型四 弧长公式与扇形面积公式应用 【例4】（23-24高一上·陕西西安·月考）已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（22-23高一上·甘肃武威·月考）如图，已知的半径是2，点、、在上，若四边形为菱形，则图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一下·江西宜春·月考）如图，已知长为，宽为的长方体木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方体木块底面与桌面所成的角为，求点走过的路程为 ． 【变式4-3】（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 题型五 利用定义求三角函数值 【例5】（23-24高一上·福建龙岩·月考）已知点是角α终边上的一点，则 ． 【变式5-1】（23-24高一上·山西阳泉·期末）已知点是角终边上的一点，且，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式5-2】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知角的终边经过点，且，则的值是（    ） A． B． C．12 D．13 【变式5-3】（23-24高一上·湖北·期末）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 题型六 三角函数值的符号判断 【例6】（23-24高一上·陕西咸阳·月考）（多选）下列选项中，符号为负的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高一上·安徽·期末）若，则为（    ） A．第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第一、三象限角 D．第一、四象限角 【变式6-2】（23-24高一上·吉林长春·期末）“点是第二象限的点”是“的终边位于第二象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-3】（24-25高一上·河北衡水·期中）（多选）若角是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 题型七 根据同角三角函基本关系求值 【例7】（24-25高一上·河北衡水·期中）已知，且是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高一上·河南·月考）已知，且为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高一上·湖南株洲·月考）（多选）若，则的值可以取（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（23-24高一上·北京顺义·月考）完成下列两个小题 (1)已知是第三象限角，且，求的值； (2)若，求的值. 题型八 弦切互化的应用 【例8】（23-24高一上·湖南永州·期末）已知，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 【变式8-1】（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，则 . 【变式8-2】（23-24高一下·山东济宁·月考）已知是三角形的内角，是方程的两根. (1)求角； (2)若，求. 【变式8-3】（23-24高一上·贵州毕节·月考）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点. (1)求的值； (2)求的值. 题型九 利用互余互补给值求值 【例9】（23-24高一上·广西·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24高一下·江西景德镇·期中）等于（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24高一下·江西南昌·月考）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（23-24高一上·重庆·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型十 诱导公式与同角三角函数基本关系综合 【例10】（23-24高一上·甘肃·期末）已知 (1)求的值； (2)若是第三象限角，化简，并求值. 【变式10-1】（23-24高一上·湖北·期末）已知函数． (1)化简； (2)若，且，求的值． 【变式10-2】（23-24高一上·山东济宁·期末）在平面直角坐标系xoy中，角与的顶点均为坐标原点O，始边均为x轴的非负半轴．若角的终边OP与单位圆交于点，将OP绕原点O按逆时针方向旋转后与角的终边OQ重合． (1)求的值； (2)求的值． 【变式10-3】（23-24高一上·江苏徐州·月考）计算求值. (1) (2)若，且，求下列式子. （i） （ii）. 题型十一 三角函数的图象识别问题 【例11】（23-24高一下·广东广州·期末）函数（且）的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式11-1】（23-24高一下·陕西渭南·月考）数缺形时少直观，形缺数时难入微.函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（23-24高一上·福建漳州·期末）函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（23-24高一下·河南南阳·月考）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 题型十二 三角函数的单调性及应用 【例12】（24-25高一上·河北廊坊·月考）函数 的单调递减区间为 . 【变式12-1】（23-24高一下·辽宁阜新·月考）函数的单调递减区间是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【变式12-2】（23-24高一上·山东济宁·月考）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】（23-24高一上·全国·期末）已知函数在区间上单调递增,那么实数ω的取值范围是 . 题型十三 三角函数的奇偶性及应用 【例13】（22-23高一下·云南文山·月考）下列函数中，最小正周期为的偶函数是（ ） A． B． C． D． 【变式13-1】（23-24高一下·河南漯河·月考）已知函数是偶函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式13-2】（23-24高一上·新疆伊犁·月考）已知函数是偶函数，则的值为（    ） A． B．1 C．1或 D． 【变式13-3】（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数为奇函数，则 . 题型十四 三角函数的对称性及应用 【例14】（23-24高一上·山西长治·期末）函数的图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】（2024·江西上饶·一模）关于函数，下列选项中是对称中心的有（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】（23-24高一下·云南·月考）下列函数中，以点为对称中心的函数是（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】（22-23高一下·辽宁·月考）已知函数的最小正周期为，其图像的一个对称中心的坐标为，则曲线的对称中心坐标为（    ） A．， B．， C．， D．， 题型十五 三角函数的周期性及应用 【例15】（23-24高一下·广东珠海·月考）函数的最小正周期是 ． 【变式15-1】（23-24高一下·上海宝山·期末）函数的最小正周期为 ． 【变式15-2】（23-24高一上·湖南株洲·月考）（多选）设函数，，则关于的说法正确的是（    ） A．最小正周期为 B．最小正周期为 C．奇函数 D．偶函数 【变式15-3】（22-23高一上·重庆合川·期末）（多选）下列函数中，最小正周期为的偶函数是（    ） A． B． C． D． 题型十六 由函数图象确定解析式 【例16】（22-23高一上·河北邢台·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式16-1】（23-24高一上·广东深圳·月考）若函数的部分图象如图所示，则和的值是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式16-2】（23-24高一上·陕西西安·月考）如图，直线与函数的图象的三个相邻的交点为A，B，C，且，，则（   ）    A． B． C． D． 【变式16-3】（23-24高一下·上海宝山·月考）下图是函数的部分图像，则（   ） A． B． C． D． 题型十二 三角函数的图象变换 【例17】（23-24高一下·河北承德·月考）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【变式17-1】（23-24高一下·福建福州·月考）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【变式17-2】（23-24高一下·河南·月考）要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（    ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移单位长度 C．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 D．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 【变式17-3】（23-24高一下·四川泸州·月考）将函数的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则φ的值可能为（    ） A． B． C． D． 题型十八 “五点法”作图综合应用 【例18】（23-24高一下·江西南昌·月考）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据如下： 0 0 0 (1)求，，； (2)求函数在区间上的最值及取得最值时的值． 【变式18-1】（23-24高一下·湖北·月考）已知直线是函数的图象的一条对称轴，且在上单调递增. (1)求的值，并在上面网格纸中作出在上的大致图象； (2)将函数的图象的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度后，得到函数的图象，求在上的值域. 【变式18-2】（23-24高一下·河南信阳·月考）已知函数. (1)填写下表，并画出在上的图象; 0 (2)写出的解集; (3)把图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点横坐标缩短为原来（纵坐标不变），得到的图象，求的解析式. 【变式18-3】（23-24高一下·广东佛山·月考）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 x m n p 1 6 1 1 (1)求出实数m，n，p的值； (2)求出函数的解析式； (3)将图象向左平移个单位，得到的图象．若为偶函数，求t的最小值． 题型十九 三角函数在物理中的应用 【例19】（22-23高一上·云南昆明·期末）一个单摆作简谐振动位移-时间图象如图所示，S表示离开O的位移（单位：cm），t表示振动的时间（单位：s），则该简谐振动的振幅为 cm，振动的最小正周期为 s． 【变式19-1】（23-24高一下·北京·期中）在近期学校组织的论文展示大赛中，同学们发现数学在音乐欣赏中起着重要的作用纯音的数学模型是三角函数如音叉发出的纯音振动可表示为，其中表示时间，表示纯音振动时音叉的位移我们听到的每个音是由纯音合成的，若某合音的数学模型为函数，且声音的质感与的参数有关，比如：音调与声波的振动频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利． （1）当时，函数的对称中心坐标为 ； （2）当时，合音的音调比纯音 （填写“高”或“低”）． 【变式19-2】（23-24高一下·江西新余·月考）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(m)和时间t(s)的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续四次到达同一位置的时间分别为，且，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的距离大于0.5m的总时间为（    ） A． B． C． D． 【变式19-3】（23-24高一下·广东广州·期中）（多选）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式，确定，其中，，．小球从最高点出发，经过后，第一次回到最高点，则（    ） A． B． C．与时的相对于平衡位置的高度之比为 D．与时的相对于平衡位置的高度之比为 题型二十 三角函数在生活中的应用 【例20】（23-24高一下·湖南·月考）（多选）摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转分钟，当时，游客随舱旋转至距离地面最远处.以下关于摩天轮的说法中，正确的为（    ） A．摩天轮离地面最近的距离为8米 B．若旋转分钟后，游客距离地面的高度为米，则 C．若在，时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为30 D．存在，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米 【变式20-1】（23-24高一下·广东佛山·月考）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报. 时刻 水深m 时刻 水深/m 时刻 水深m 0:00 5.0 9：18 2.6 18：:36 5.0 3:06 7.4 12：24 5.0 21：:42 2.6 6:12 5.0 15：:30 7.4 24：00 4.0 (1)根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，请写出这段曲线的函数解析式. (2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与洋底的距离），请结合图像说明货船进港的必要条件，并求该船这一天何时能进入港口？在港口能呆多久？ 【变式20-2】（23-24高一下·陕西渭南·月考）某大型商场，在气温超过时，才开放中央空调，否则关闭中央空调，如图是该市夏季一天的气温（单位：）随时间（，单位：时）的大致变化曲线，该曲线满足函数关系. (1)求函数的解析式； (2)根据（1）结论判断，该商场中央空调在本天内何时开启？何时关闭？ 【变式20-3】（23-24高一下·辽宁朝阳·月考）某工厂有甲、乙两个生产车间，其污水瞬时排放量（单位：）关于时间（单位：）的关系均近似地满足函数，其图象如图所示. (1)根据图象求函数解析式； (2)若甲车间先投产，1小时后乙车间再投产，求该厂两个车间都投产时刻的污水瞬时排放量； (3)由于受工厂污水处理能力的影响，环保部门要求该厂的两个车间任意时刻的污水排放量之和不超过，若甲车间先投产，为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟多少小时投产？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章：三角函数 知识点1 任意角与弧度制 1、角的概念的推广 （1）任意角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 （2）角的分类： ①正角：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角； ②负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角； ③零角：一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角 （3）象限角的定义与表示：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角。 象限角 集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 （4）轴线角的定义与表示：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角。 角的终边位置 集合表示 轴的非负半轴 轴的非正半轴 轴上 轴非负半轴 轴非正半轴 轴上 2、弧度制 （1）角度制与弧度制的定义 ①规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. ②弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. （2）角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 （3）弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下： 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 知识点2 任意角的三角函数 1、任意角三角函数的定义 （1）三角函数的定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，则： 叫做的正弦函数，记作.即； 叫做的余弦函数，记作.即； 叫做的正切函数，记作.即。 （2）三角函数的符号：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 2、同角三角函数的基本关系 （1）平方关系与商数关系 ①平方关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1 ②商数关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切 （2）基本关系的推广公式 ① ② 3、诱导公式 诱导公式一：，，，其中 诱导公式二： ，，，其中 诱导公式三： ，，，其中 诱导公式四：，，，其中 诱导公式五：，，其中 诱导公式六：，，其中 知识点3 三角函数的图象与性质 图象 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 时， 时， 时， 时， 周期性 奇偶性 奇 偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 对称性 对称轴方程： 对称中心 对称轴方程： 对称中心 对称中心 知识点4 函数y＝Asin(ωx＋φ) 1、A、φ、ω的含义 （1）A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅． （2）φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位． （3）ω决定了函数的周期． 2、函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的画法 五点法：要找五个关键点，如下表所示. x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3、三角函数图象的变换 （1）振幅变换：要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到． （2）平移变换：要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到． （3）周期变换：要得到函数y＝sinωx(x∈R)（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到． （4）函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 知识点5 三角函数模型的简单应用 1、三角函数模型问题的几种类型 （1）由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质． （2）由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性． （3）利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题． 2、解三角函数应用问题的基本步骤 （1）审清题意：读懂题目中“文字”“图象”“符号”等语言，理解所反映的实际问题的背景，得出相应的数学问题； （2）建立函数模型：整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系，即建立三角函数模性； （3）解答函数模型：利用所学的三角函数知识解答所得到的三角函数模型，求得结果； （4）得出结论：使所得结论翻译成实际问题的答案． 题型一 终边相同的角的表示 【例1】（23-24高一上·陕西宝鸡·月考）下列选项中，与角终边相同的角是（    ） A． B． C．310° D．330° 【答案】A 【解析】与角终边相同的角的集合表示为， 当时，，故与角终边相同．故选：A． 【变式1-1】（23-24高一上·江苏南通·月考）的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】因为 所以的终边与的终边相同， 而的终边在第二象限， 所以的终边在第二象限．故选： 【变式1-2】（23-24高一上·湖南长沙·期末）将化为的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由知.故选：B. 【变式1-3】（23-24高一下·河南·月考）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】终边落在阴影部分的角为，， 即终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是．故选：B． 题型二 象限角的判定 【例2】（23-24高一上·江苏连云港·月考）如果是第三象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第一或第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【答案】C 【解析】是第三象限角，则， 故， 当为偶数时，在第三象限；当为奇数时，在第一象限；故选：C. 【变式2-1】（22-23高一下·北京·期中）设是第二象限角，则的终边在（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】D 【解析】因为是第二象限角， 所以 ，， 当 时， ，在第一象限； 当 时， ，在第二象限； 当 时， ，在第四象限；故选：D 【变式2-2】（23-24高一上·陕西铜川·月考）已知α锐角，那么2α是（    ） A．小于180°的正角 B．第一象限角 C．第二象限角 D．第一或二象限角 【答案】A 【解析】∵α锐角，∴0°<α<90°，∴0°<2α<180°，故选：A． 【变式2-3】（23-24高一上·云南曲靖·月考）（多选）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角 【答案】AB 【解析】因为与关于x轴对称，而是第二象限角， 所以是第三象限角，所以是第一象限角，故A选项正确； 因为是第二象限角，所以，， 所以，，故是第一或第三象限角，故B选项正确； 因为是第二象限角，所以是第一象限角，故 C选项错误； 因为是第二象限角，所以，， 所以，， 所以的终边可能在y轴负半轴上，故D选项错误．故选：AB. 题型三 角度制与弧度制的换算 【例3】（23-24高一上·贵州黔南·月考）将化为弧度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B 【变式3-1】（23-24高一上·四川泸州·月考）化为角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B 【变式3-2】（23-24高一上·福建龙岩·月考）（多选）将下列角度与弧度进行互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，因，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确.故选：BCD. 【变式3-3】（23-24高一下·安徽淮北·月考）（多选）下列说法正确的是（    ） A．化成弧度是 B．化成角度是18° C．化成弧度是 D．化成角度是 【答案】AB 【解析】对于A项，因，故A项正确； 对于B项，因，故B项正确； 对于C项，因，故C项错误； 对于D项，因，故D项错误.故选：AB. 题型四 弧长公式与扇形面积公式应用 【例4】（23-24高一上·陕西西安·月考）已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设扇形的半径为， 则弧长为，周长为，解得：， 则此扇形的面积为：，故选：D 【变式4-1】（22-23高一上·甘肃武威·月考）如图，已知的半径是2，点、、在上，若四边形为菱形，则图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，连接， 因为四边形为菱形，所以, 所以和均为等边三角形，且边长为，其中， 可得， 所以四边形的面积为 又由扇形的面积为， 所以阴影部分的面积为.故选：C. 【变式4-2】（23-24高一下·江西宜春·月考）如图，已知长为，宽为的长方体木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被小木块挡住，此时长方体木块底面与桌面所成的角为，求点走过的路程为 ． 【答案】 【解析】    第一次是以为旋转中心，以为半径旋转， 此次点走过的路径是， 第二次是以为旋转中心，以为半径旋转， 此次点走过的路径是， 第三次是以为旋转中心，以为半径旋转， 此次点走过的路径是， 点三次共走过的路径是， 故答案为：． 【变式4-3】（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时扇形的半径是，圆心角． 【解析】（1）， 扇形的弧长； （2）设扇形的弧长为，半径为， 则，， 则， 当时，，此时，， 的最大值是，此时扇形的半径是，圆心角． 题型五 利用定义求三角函数值 【例5】（23-24高一上·福建龙岩·月考）已知点是角α终边上的一点，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 所以，， 所以. 故答案为： 【变式5-1】（23-24高一上·山西阳泉·期末）已知点是角终边上的一点，且，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】依题意，，解得.故选：D 【变式5-2】（23-24高一上·江苏南京·期末）已知角的终边经过点，且，则的值是（    ） A． B． C．12 D．13 【答案】B 【解析】根据任意角三角函数定义，，所以.故选：B. 【变式5-3】（23-24高一上·湖北·期末）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由三角函数的定义可得， 整理可得，即， 即，可得，故.故选：B. 题型六 三角函数值的符号判断 【例6】（23-24高一上·陕西咸阳·月考）（多选）下列选项中，符号为负的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】是第三象限角，故，A正确； 是第二象限角，故，B正确； ，是第三象限角，故，C错误； ，D正确；故选：ABD. 【变式6-1】（23-24高一上·安徽·期末）若，则为（    ） A．第一、二象限角 B．第二、三象限角 C．第一、三象限角 D．第一、四象限角 【答案】D 【解析】因为，所以同号， 在第一象限时， 在第四象限时， 所以是第一、四象限角，而二、三象限两函数值异号.故选：D. 【变式6-2】（23-24高一上·吉林长春·期末）“点是第二象限的点”是“的终边位于第二象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为点在第二象限，所以，， 则的终边位于第二象限， 反之，若的终边位于第二象限，则，， 故点是第二象限的点， 综上，“点是第二象限的点”是“的终边位于第二象限”的充要条件.故选：C. 【变式6-3】（24-25高一上·河北衡水·期中）（多选）若角是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】若角是第二象限角，则，， 则，，故A、C、D正确，B错误.故选：ACD. 题型七 根据同角三角函基本关系求值 【例7】（24-25高一上·河北衡水·期中）已知，且是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是第二象限角，所以. 又，，所以. 所以.故选：A 【变式7-1】（23-24高一上·河南·月考）已知，且为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为,所以， 因为为第二象限角，所以.故选：C. 【变式7-2】（23-24高一上·湖南株洲·月考）（多选）若，则的值可以取（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】若，则为第一或第三象限角， 当第一象限时，，得，， 当第三象限时，，得，，故选：AC 【变式7-3】（23-24高一上·北京顺义·月考）完成下列两个小题 (1)已知是第三象限角，且，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)；(2)是第一象限角时，，是第三象限角时，， 【解析】（1）由可得， 由于是第三象限角，所以，故 （2）由可知：是第一象限或者第三象限角， ，又， 当是第一象限角时，， 当是第三象限角时，. 题型八 弦切互化的应用 【例8】（23-24高一上·湖南永州·期末）已知，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【解析】由题设，又.故选：D 【变式8-1】（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，则 . 【答案】 【解析】， 故原式，故答案为： 【变式8-2】（23-24高一下·山东济宁·月考）已知是三角形的内角，是方程的两根. (1)求角； (2)若，求. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为是方程的两根， 所以， 又， 则，解得（舍去）或， 所以或， 将或代入中易知当时不成立， 故； （2），即， 则，则，解得或， 因为，所以， 故. 【变式8-3】（23-24高一上·贵州毕节·月考）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）因为角的终边经过点，可得， 由三角函数的定义,可得. （2）由（1）知，则. 题型九 利用互余互补给值求值 【例9】（23-24高一上·广西·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以.故选：C 【变式9-1】（23-24高一下·江西景德镇·期中）等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵ 则且， ∴.故选：D 【变式9-2】（23-24高一下·江西南昌·月考）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以.故选：D. 【变式9-3】（23-24高一上·重庆·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以，故选：B. 题型十 诱导公式与同角三角函数基本关系综合 【例10】（23-24高一上·甘肃·期末）已知 (1)求的值； (2)若是第三象限角，化简，并求值. 【答案】(1)2；(2)详见解析. 【解析】（1）由，得，解得， 所以的值为2. （2）由（1）知，，即，而，于是， 而是第三象限角，即，因此， 所以. 【变式10-1】（23-24高一上·湖北·期末）已知函数． (1)化简； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）. （2）由，可得， 所以， 又， 所以， 因为，，，所以， 所以的值为． 【变式10-2】（23-24高一上·山东济宁·期末）在平面直角坐标系xoy中，角与的顶点均为坐标原点O，始边均为x轴的非负半轴．若角的终边OP与单位圆交于点，将OP绕原点O按逆时针方向旋转后与角的终边OQ重合． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意可知：，， 因为，即，且，解得， 即，． 又因为， 可得， ． 所以． （2）由（1）知， 所以． 【变式10-3】（23-24高一上·江苏徐州·月考）计算求值. (1) (2)若，且，求下列式子. （i） （ii）. 【答案】(1)；(2)（i）；（ii）. 【解析】（1）由于， 所以. （2）（i）由，，得，， 所以. （ii）. 题型十一 三角函数的图象识别问题 【例11】（23-24高一下·广东广州·期末）函数（且）的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解析】由题意，，化简得， 根据函数的图象和性质， 可得在内为增函数且为正值， 在内为增函数且为负值，在内为减函数且为负值，故C正确.故选：C. 【变式11-1】（23-24高一下·陕西渭南·月考）数缺形时少直观，形缺数时难入微.函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以为偶函数，排除B,C； 当为锐角时，，排除D.故选：A 【变式11-2】（23-24高一上·福建漳州·期末）函数的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，函数定义域为， ，函数为偶函数，排除CD； 当时，，排除B；故选：A. 【变式11-3】（23-24高一下·河南南阳·月考）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】定义域为， 且， 所以函数是奇函数，图象关于原点中心对称，排除B、D． 又，故A错误.故选：C． 题型十二 三角函数的单调性及应用 【例12】（24-25高一上·河北廊坊·月考）函数 的单调递减区间为 . 【答案】. 【解析】 的单调递减区间即为的单调递增区间. 令，，得,. 故其单调递减区间为. 故答案为：. 【变式12-1】（23-24高一下·辽宁阜新·月考）函数的单调递减区间是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【解析】， 令，，解得，， 故函数的单调递减区间为；故选：A. 【变式12-2】（23-24高一上·山东济宁·月考）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意可得，， 得，， 则，解得， 又，当时，得；当时，，矛盾， 所以的取值范围是．故选：A． 【变式12-3】（23-24高一上·全国·期末）已知函数在区间上单调递增,那么实数ω的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为， 由且，知， 因为函数在区间上单调递增, 则,其中, 所以其中,解得，其中, 由，得， 又，所以或， 因为,所以当时,; 当时,， 所以实数ω的取值范围是. 故答案为：. 题型十三 三角函数的奇偶性及应用 【例13】（22-23高一下·云南文山·月考）下列函数中，最小正周期为的偶函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，定义域为， 因为，所以函数为偶函数， 因为的图象是由的图象在轴下方的关于轴对称后与轴上方的图象共同组成 （如下图所示）， 又的最小正周期为，所以的最小正周期为，故A正确； 对于B：为最小正周期为的奇函数，故B错误； 对于C：定义域为，，即为偶函数， 又， 所以为的周期，故C错误； 对于D：为最小正周期为的偶函数，故D错误；故选：A 【变式13-1】（23-24高一下·河南漯河·月考）已知函数是偶函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是偶函数， 所以，即， 又，所以.故选：C. 【变式13-2】（23-24高一上·新疆伊犁·月考）已知函数是偶函数，则的值为（    ） A． B．1 C．1或 D． 【答案】A 【解析】因为函数是偶函数， 所以，则， 所以.故选：A. 【变式13-3】（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知函数为奇函数，则 . 【答案】/ 【解析】因为函数为奇函数， 所以，所以，所以， 又，所以时，. 故答案为： 题型十四 三角函数的对称性及应用 【例14】（23-24高一上·山西长治·期末）函数的图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数，令，解得， 令，可得， 所以函数的一个对称中心有，其它不是对称中心.故选：B． 【变式14-1】（2024·江西上饶·一模）关于函数，下列选项中是对称中心的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令解得，故对称中心为， 经检验只有，符合题意.故选：C 【变式14-2】（23-24高一下·云南·月考）下列函数中，以点为对称中心的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：函数，令，解得， 所以函数的对称中心为，，故A错误； 对于B：函数，令，解得， 所以函数的对称中心为，，故B错误； 对于C：函数，令，解得， 所以函数的对称中心为，，故C错误； 对于D：函数，令，解得， 所以函数的对称中心为，，故D正确.故选：D 【变式14-3】（22-23高一下·辽宁·月考）已知函数的最小正周期为，其图像的一个对称中心的坐标为，则曲线的对称中心坐标为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】函数的最小正周期为， 则有，，则， 函数图像的一个对称中心的坐标为，则， 由，， 则，由，解得， 所以曲线的对称中心坐标为，.故选：B 题型十五 三角函数的周期性及应用 【例15】（23-24高一下·广东珠海·月考）函数的最小正周期是 ． 【答案】 【解析】的最小正周期是，故答案为： 【变式15-1】（23-24高一下·上海宝山·期末）函数的最小正周期为 ． 【答案】/ 【解析】由正切型函数性质可知.故答案为：. 【变式15-2】（23-24高一上·湖南株洲·月考）（多选）设函数，，则关于的说法正确的是（    ） A．最小正周期为 B．最小正周期为 C．奇函数 D．偶函数 【答案】BD 【解析】， 最小正周期为，故B正确； ，所以函数是偶函数，故D正确.故选：BD 【变式15-3】（22-23高一上·重庆合川·期末）（多选）下列函数中，最小正周期为的偶函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】由， 则该函数为偶函数，且周期为，故A正确； ， ∵，故该函数为偶函数， 周期为周期的一半，故，故B正确； ，故是偶函数， ,周期，故C错误； 为非奇非偶函数，故D错误；故选：AB. 题型十六 由函数图象确定解析式 【例16】（22-23高一上·河北邢台·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据图象可得，，解得， 所以，即， 将点代入的解析式，得， 则，解得，，又， ，所以.故选：D. 【变式16-1】（23-24高一上·广东深圳·月考）若函数的部分图象如图所示，则和的值是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】由图象可知， 所以， ， 由于，所以.故选：C 【变式16-2】（23-24高一上·陕西西安·月考）如图，直线与函数的图象的三个相邻的交点为A，B，C，且，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以相邻两对称轴间的距离，即周期，所以，排除BD， 当时，代入，可得，满足题意， 代入，可得，不符合题意， 故A正确C错误.故选：A 【变式16-3】（23-24高一下·上海宝山·月考）下图是函数的部分图像，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象知函数的周期 ，即 即   当 时，，解得， 所以， ， 当 时， ，解得， 所以，故选： C. 题型十二 三角函数的图象变换 【例17】（23-24高一下·河北承德·月考）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象， 所以.故选：B 【变式17-1】（23-24高一下·福建福州·月考）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【解析】由， 将向右平移个单位即可得到.故选：D. 【变式17-2】（23-24高一下·河南·月考）要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（    ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移单位长度 C．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 D．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 【答案】C 【解析】对于A，横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到的图象， 再向左平移个单位长度得到，故A错误； 对于B，横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象， 显然不对，同理D也不对； 对于C，将的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到， 再向左平移个单位长度，得到.故选：C. 【变式17-3】（23-24高一下·四川泸州·月考）将函数的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则φ的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象， 因为的图象关于原点对称，可得，则， 又，结合选项，取，得.故选：D. 题型十八 “五点法”作图综合应用 【例18】（23-24高一下·江西南昌·月考）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据如下： 0 0 0 (1)求，，； (2)求函数在区间上的最值及取得最值时的值． 【答案】(1)，，；(2)当时，取得最大值2，当时，取得最小值 【解析】（1）由题表可知，，解得，，. （2）由（1）知，， ∵，∴． 令，得，令，得， ∴当时，取得最大值为2，当时，取得最小值为. 【变式18-1】（23-24高一下·湖北·月考）已知直线是函数的图象的一条对称轴，且在上单调递增. (1)求的值，并在上面网格纸中作出在上的大致图象； (2)将函数的图象的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度后，得到函数的图象，求在上的值域. 【答案】(1)；作图见解析；(2). 【解析】（1）依题意，，故， 由于在上单调递增，故， 所以，解得，故； 列表可知 0 -1 0 2 0 -2 -1 作出在上的大致图象如下所示： （2）将函数的图象的横坐标缩短为原来的后，得到； 再向右平移个单位长度后，得到的图象； 当时，， 所以当时，， 当时，， 故在上的值域为. 【变式18-2】（23-24高一下·河南信阳·月考）已知函数. (1)填写下表，并画出在上的图象; 0 (2)写出的解集; (3)把图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点横坐标缩短为原来（纵坐标不变），得到的图象，求的解析式. 【答案】(1))表格见解析，图象见解析；(2)；(3) 【解析】（1） 0 0 0 （2）由，， 得，， 故的解集为 （3）的图象向右平移个单位得的图象， 即函数为 图象上所有点横坐标缩短为原来，， 所以， 【变式18-3】（23-24高一下·广东佛山·月考）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 x m n p 1 6 1 1 (1)求出实数m，n，p的值； (2)求出函数的解析式； (3)将图象向左平移个单位，得到的图象．若为偶函数，求t的最小值． 【答案】(1)，，；(2)；(3) 【解析】（1）由题意得，解得，所以，，. （2）由题意得，解得，所以. （3）由题意得， 因为为偶函数，所以或，即， 即，解得， 因为，所以当时，最小，最小为. 题型十九 三角函数在物理中的应用 【例19】（22-23高一上·云南昆明·期末）一个单摆作简谐振动位移-时间图象如图所示，S表示离开O的位移（单位：cm），t表示振动的时间（单位：s），则该简谐振动的振幅为 cm，振动的最小正周期为 s． 【答案】 6 4 【解析】单摆作简谐振动的位移-时间图符合正弦型函数， 由图可知振幅为6，最小正周期为． 故答案为：； 【变式19-1】（23-24高一下·北京·期中）在近期学校组织的论文展示大赛中，同学们发现数学在音乐欣赏中起着重要的作用纯音的数学模型是三角函数如音叉发出的纯音振动可表示为，其中表示时间，表示纯音振动时音叉的位移我们听到的每个音是由纯音合成的，若某合音的数学模型为函数，且声音的质感与的参数有关，比如：音调与声波的振动频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利． （1）当时，函数的对称中心坐标为 ； （2）当时，合音的音调比纯音 （填写“高”或“低”）． 【答案】 低 【解析】当时，时，函数的对称中心坐标为； 当时，，函数的最小正周期为，函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为，，函数的最小正周期为， 因此函数的最小正周期为，频率为，的周期为，频率为， 所以比的频率低，即合音的音调比纯音音调低． 故答案为：；低 【变式19-2】（23-24高一下·江西新余·月考）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(m)和时间t(s)的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续四次到达同一位置的时间分别为，且，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的距离大于0.5m的总时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设的周期为，， 根据， 可知， 所以，，所以， 令，则， 所以，可得， 所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的距离大于0.5m的总时间为 .故选：B 【变式19-3】（23-24高一下·广东广州·期中）（多选）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式，确定，其中，，．小球从最高点出发，经过后，第一次回到最高点，则（    ） A． B． C．与时的相对于平衡位置的高度之比为 D．与时的相对于平衡位置的高度之比为 【答案】BC 【解析】对于AB，由题可知小球运动的周期，又，所以，解得， 当时，，又，所以，故A错误，B正确； 对于CD，则， 所以与时的相对于平衡位置的高度之比为 ，故C正确D错误.故选：BC. 题型二十 三角函数在生活中的应用 【例20】（23-24高一下·湖南·月考）（多选）摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转分钟，当时，游客随舱旋转至距离地面最远处.以下关于摩天轮的说法中，正确的为（    ） A．摩天轮离地面最近的距离为8米 B．若旋转分钟后，游客距离地面的高度为米，则 C．若在，时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为30 D．存在，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米 【答案】ABC 【解析】对于A，最高点离地面高度128米，转盘直径为120米， 所以摩天轮离地面最近的距离为（米），选项A正确； 对于B，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系， 设分钟时，游客位于点，以为终边的角为， 分钟时，旋转角度为，所以周期，角速度为， 在转动一周的过程中，高度关于时间的函数解析式是： ，选项B正确； 对于C，在，时刻，游客距离地面的高度相等， 即，即， 故或， 当时，， 当时，， 由于不相等且为非负整数，故此时， 故的最小值是30，选项C正确； 对于D，， 令，解得，令，解得， 则在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，，当时，， 故在只有一个解，选项D错误. 故选：ABC. 【变式20-1】（23-24高一下·广东佛山·月考）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报. 时刻 水深m 时刻 水深/m 时刻 水深m 0:00 5.0 9：18 2.6 18：:36 5.0 3:06 7.4 12：24 5.0 21：:42 2.6 6:12 5.0 15：:30 7.4 24：00 4.0 (1)根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，请写出这段曲线的函数解析式. (2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与洋底的距离），请结合图像说明货船进港的必要条件，并求该船这一天何时能进入港口？在港口能呆多久？ 【答案】(1)， (2)图象见解析，答案见解析 【解析】（1）从数据和图形可以得出： 由题意可知，，得，， ，；由，得， 所以这段曲线的函数解析式为，． （2）货船需要的安全水深为米，所以，进港条件为. 如上图所示，在点后或点后可以进港. ，与在区间有四个交点. 令，即， 因此，由，及得（时）时2分，（时）时10分. 由函数的周期性得：时2分+12时24分=13时26分， 时10分+12时24分=17时34分. 因此，货船可以在1时10分左右进港，早晨5时20分左右出港； 或在下午13时30分左右进港，下午17时40分左右出港．每次可以在港口停留约5小时． 【变式20-2】（23-24高一下·陕西渭南·月考）某大型商场，在气温超过时，才开放中央空调，否则关闭中央空调，如图是该市夏季一天的气温（单位：）随时间（，单位：时）的大致变化曲线，该曲线满足函数关系. (1)求函数的解析式； (2)根据（1）结论判断，该商场中央空调在本天内何时开启？何时关闭？ 【答案】(1)；(2)10时开，18时关 【解析】（1）由图知，，所以，解得：. 由图知，，， 所以：， 将点代入函数解析式得：，得， 即：， 又因为，得，所以：. （2）依题意，令，可得， 所以：，解得： 令，得，， 故中央空调应在上午10时开启，下午18时关闭． 【变式20-3】（23-24高一下·辽宁朝阳·月考）某工厂有甲、乙两个生产车间，其污水瞬时排放量（单位：）关于时间（单位：）的关系均近似地满足函数，其图象如图所示. (1)根据图象求函数解析式； (2)若甲车间先投产，1小时后乙车间再投产，求该厂两个车间都投产时刻的污水瞬时排放量； (3)由于受工厂污水处理能力的影响，环保部门要求该厂的两个车间任意时刻的污水排放量之和不超过，若甲车间先投产，为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟多少小时投产？ 【答案】(1) (2) (3)为满足环保要求,乙车间至少需比甲车间推迟小时投产. 【解析】（1）由图可得：，解得：， ，所以，解得：， 由过点可得： ，因为，所以， 所求函数的解析式为. （2）该厂时刻的排污量为甲乙两车间排污量之和， 此时甲车间排污量为乙车间为， 根据题意可得时刻的排污量：， 所以. （3）设乙车间至少比甲车间推迟小时投产，根据题意可得： ， ， 所以， 所以， ∴，∴，∴， 由得，∴， ∴为满足环保要求,乙车间至少需比甲车间推迟小时投产. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$