第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末总结-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（湘教版）

章末总结 1．求代数式最值——逻辑推理、数学运算 ►【例1】　设a，b，m，n∈R且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则的最小值为 ． 【解析】　法一(柯西不等式法)： ∵(a2＋b2)(m2＋n2)≥(ma＋nb)2(当且仅当＝时等号成立)，即m2＋n2≥5，∴的最小值为. 法二(均值不等式)： 因为5＝ma＋nb≤＋ ＝(当且仅当m＝a，n＝b时等号成立)，又a2＋b2＝5，所以m2＋n2≥5，即的最小值为. 【答案】　 2．求解应用问题——数学建模、数学运算 　数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养．数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题．数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式．数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力． ►【例2】　某自来水厂的蓄水池存有400 t水，水厂每小时可向蓄水池中注水60 t，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，m h内供水总量为120 t(0≤m≤24)． (1)开始供水多长时间后，蓄水池中的水量最少？最少水量是多少吨？ (2)若蓄水池中水量少于80 t时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天之中，有几个小时出现供水紧张现象？ 【思路分析】　由于题目解析式中既有m，也有，两者为二次关系，可构造一元二次不等式求解． 【解】　(1)设开始供水m h后，蓄水池中的水量为y t，则y＝400＋60m－120＝60(－)2＋40． ∴当＝，即m＝6时，ymin＝40． 故开始供水6 h后，蓄水池中水量最少，最少水量为40 t． (2)令＝x(x≥0)，由题意，得400＋10x2－120x<80，即x2－12x＋32<0，解得4<x<8，则16<x2<64． ∵x2＝6m，∴16<6m<64，∴<m<． ∵－＝8，∴每天有8 h出现供水紧张现象． 3．三个“二次”间的转化——直观想象、逻辑推理、数学运算 ►【例3】　已知方程x2＋2mx－m＋12＝0的两根都大于2，求实数m的取值范围． 【解】　法一：设y＝x2＋2mx－m＋12，则 即 ∴－<m≤－4． 故实数m的取值范围为． 法二：设方程x2＋2mx－m＋12＝0的两根为x1，x2． 由题意知 即解得 ∴－<m≤－4． 故实数m的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $$