5.3 三角函数的图象与性质-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（湘教版）

5．3　三角函数的图象与性质 5．3．1　正弦函数、余弦函数的图象与性质 第一课时　正弦函数、余弦函数的图象 [素养目标]　1．了解利用单位圆中正弦函数的定义画出正弦函数曲线的方法．　2．掌握“五点法”作出正弦曲线、余弦曲线的步骤和方法．　3．理解正弦曲线、余弦曲线的关系． 一、正弦曲线上点的坐标及画法 (1)在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，⊙O与x轴正半轴的交点为A(1，0)．在单位圆上，将点A绕着点O旋转x0弧度至点B，根据正弦函数的定义，点B的纵坐标y0＝sin x0．由此，以x0为横坐标，y0为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T(x0，sin x0)． (2)若把x轴上从0到2π这一段分成12等份，使x0的值分别为0，，，，…，2π，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按上述画点T(x0，sin x0)的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点(如下图): (3)由诱导公式一可知，函数y＝sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z且k≠0的图象与y＝sin x，x∈[0，2π]的图象形状完全一致．因此将函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象(如下图): 正弦函数的图象叫作正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线． (4)正弦曲线的“五点法”作图 在函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，以下五个点：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图． 二、余弦曲线的画法 (1)平移法：将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示． 余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫作余弦曲线，它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线． (2)五点法：y＝cos x，x∈[0，2π]的五个关键点为(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 理解1　“五点法”作图与正、余弦函数图象的认识 角度1　正、余弦函数图象的作法 ►【例1】　利用“五点法”，画出函数y＝sin x－1，x∈[0，2π]的简图． 【解】　(1)取五个关键点列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 sin x－1 －1 0 －1 －2 －1 (2)描点并用光滑曲线连接，如图所示． 角度2　正、余弦图象的认识 ►【例2】　(1)下列图象中，是y＝－sin x在[0，2π]上的图象的是(　　) 【答案】　D (2)下列函数图象相同的是(　　) A．f(x)＝sin x与g(x)＝sin(π＋x) B．f(x)＝sin与g(x)＝sin C．f(x)＝sin x与g(x)＝sin(－x) D．f(x)＝sin(2π＋x)与g(x)＝sin x 【答案】　D 用“五点法”画函数y＝Asin x＋b(A≠0)或 y＝Acos x＋b(A≠0)在[0，2π]上简图的步骤 (1)列表： x 0 π 2π sin x(或 cos x) 0(或1) 1(或0) 0 (或－1) －1 (或0) 0(或1) y b(或 A＋b) A＋b (或b) b(或 －A＋b) －A＋b (或b) b(或 A＋b) (2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y1)，，(π，y3)，，(2π，y5)，这里的yi(i＝1，2，3，4，5)值是通过函数解析式计算得到的． (3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接． 1．用“五点法”作y＝sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是(　　) A．0，，π，，2π　　　 B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 答案：B 2．利用“五点法”作出函数y＝－1－cos x(0≤x≤2π)的简图． 解：(1)取值列表如下： x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 －1－cos x －2 －1 0 －1 －2 (2)描点连线，如图所示 理解2　正弦、余弦函数图象的应用 角度1　零点个数问题 ►【例3】　在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数． 【解】　建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈R的图象． 描出点(1，0)，(10，1)，并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示． 由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个． 角度2　解三角方程(求角)问题 ►【例4】　若sin 2x＝－，求x的值． 【解】　(1)列表： x 0