5.2 任意角的三角函数-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（湘教版）

5．2　任意角的三角函数 5．2．1　任意角三角函数的定义 [素养目标]　1．通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数．　2．借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号，能利用三角函数线比较三角函数值的大小．　3．在利用三角函数线解三角不等式时，要注意正确作出三角函数线，描出终边所在的区域，通过图形直接写出角的取值范围． 一、三角函数的概念 1．设α是一个任意角，在角α的终边OM上任取不同于原点O的点P，利用点P的坐标(x，y)定义：sin α＝，cos α＝，tan α＝，其中r＝，以上三个比值分别称为角α的正弦、余弦、正切． 2．我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数　y＝sin α，α∈R； 余弦函数　y＝cos α，α∈R； 正切函数　y＝tan α，α≠＋kπ(k∈Z)． 理解1　三角函数定义的应用 角度1　单位圆法求三角函数值 ►【例1】　(1)在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点与原点O重合，它的始边与x轴的非负半轴重合，终边OP交单位圆O于点P，则tan θ的值为(　　) A．－　 B．　 　 C．－　 D．－ 【解析】　选C　tan θ＝＝＝－． (2)已知α＝，则sin α·tan α＝(　　) A．－ B．－ C． D． 【解析】　选B　如图所示， 的终边与单位圆的交点为P，过点P作PB⊥x轴于点B，在△OPB中，|OP|＝1，∠POB＝， 则|PB|＝，|OB|＝， 则P． 所以sin ＝，cos ＝－，tan ＝＝－． ∴sin tan ＝×(－)＝－，故选B． 1．设m<0，角α的终边与单位圆的交点为P(－3m，4m)，那么sin α＋2cos α的值等于(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选A　∵(－3m)2＋(4m)2＝1， 又∵m<0，∴m＝－， ∴P，∴sin α＝－，cos α＝． ∴sin α＋2cos α＝－＋＝． 角度2　坐标法求三角函数值 ►【例2】　(1)已知角α的终边上一点P(－，7)，求角α的正弦、余弦和正切值； (2)已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值． 【解】　(1)令x＝－，y＝7．设P到原点的距离为r，则r＝＝8．sin α＝＝，cos α＝＝－，tan α＝＝＝－． (2)r＝＝5|a|， ①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限． sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－， 所以2sin α＋cos α＝－＝1． ②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限， ∴sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝， ∴2sin α＋cos α＝－＋＝－1． 1．单位圆法求三角函数的定义时的注意点 (1)找点：确定角α的终边与单位圆的交点P(x，y)． (2)下结论：根据三角函数的定义得sin α＝y； cos α＝x；tan α＝(x≠0)． 2．已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法 在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝．当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便． 3．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 2．已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sin α，cos α，tan α的值． 解：法一：当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P(1，2)，则点P到原点的距离为＝，则sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝2；当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q(－1，－2)，点Q到原点的距离为＝，则sin α＝＝，cos α＝＝－，tan α＝＝2． 法二：设P或P ∴sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝2或sin α＝－，cos α＝－，tan α＝2． 二、用有向线段表示三角函数 　如图为角α的三种三角函数，则sin α＝DP，cos α＝OD，tan α＝AT． 有向线段DP、OD、AT为正弦线、余弦线、正切线，正弦线、余弦线、正切线统称三角函数线． 理解2　利用函数线比较大小 ►【例3】　利用三角函数线比较下列各组数的大小： (1)sin 与sin ； (2)tan 与tan ． 【解】　如图所示，角的终边与单位圆的交点为P，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T，作PM⊥x轴，垂足为M，sin ＝MP，tan ＝AT；的终边与单位圆的交点为P′，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T′，作P′M′⊥x轴，垂足为M′，则sin ＝M′P′，tan ＝AT′，由图可见，MP>M′P′>0，AT<AT′<0， 所以(1)sin >sin ， (2