5.1 任意角与弧度制-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（湘教版）

5．1　任意角与弧度制 5．1．1　角的概念的推广 [素养目标]　1．了解任意角的概念．　2．掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义．　3．熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角． 一、任意角的概念 1．角可以看作是平面内一条射线绕着其端点从初始位置旋转到终止位置时所形成的图形． 2．一条射线绕着端点以逆时针方向旋转所成的角称为正角；以顺时针方向旋转所成的角称为负角；不旋转所成的角称为零角，这样，零角的始边与终边重合．如果α是零角，那么α＝0°． 3．这样，角的概念就推广到了任意角，包括正角、负角和零角． 二、象限角 通常在直角坐标系内讨论角．为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．终边在坐标轴上的角不属于任何一个象限． 理解1　任意角的概念 ►【例1】　写出下列说法所表示的角． (1)顺时针拧螺丝2圈； (2)将时针拨慢2时30分，分针转过的角； (3)向右转体3周． 【解】　(1)顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此表示的角为－720°． (2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，2时30分是2周半．因此将时钟拨慢2时30分，分针转过的角为900°． (3)向右转体即按顺时针方向旋转，因此向右转体3周表示的角为－1080°． 关键明确两点，一是旋转方向，二是旋转量． 1．(1)将时钟拨快20分钟，分针转过的度数是 ． 答案：－120°． (2)下列所示图形中，γ＝α＋β的是 ；γ＝α－β的是 ． 解析：在①中，α与γ的始边相同，α的终边为β的始边，β与γ的终边相同，所以γ＝α＋β． 在②中，α与γ的始边相同，α的终边为－β的始边，－β与γ的终边相同，所以γ＝α＋(－β)＝α－β． 同理可知，③中γ＝α－β，④中γ＝α＋β． 答案：①④　②③ 理解2　象限角 ►【例2】　(1)下列说法：①终边相同的角必相等；②锐角必是第一象限角；③小于90°的角是锐角；④第二象限的角必大于第一象限的角；⑤若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α是第三或第四象限的角，其中错误的是(　　) A．③④⑤　　　　　　　　 B．①③④ C．①③④⑤ D．②③④⑤ 【答案】　C (2)(多选)给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第三象限角；④－310°是第一象限角．其中正确的命题是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 【解析】　 选ABD　①②④正确，475°为第二象限角，③错误，故选ABD． 根据角的正负(大小)进行模拟旋转，判断角的终边位置． 2．若β是第二象限角，则270°＋β是(　　) A．第一象限角　　　　　 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：选A　因为β是第二象限角，所以k·360°＋90°<β<k·360°＋180°，k∈Z，则(k＋1)·360°<β＋270°<(k＋1)·360°＋90°，k∈Z，所以270°＋β是第一象限角，故选A． 三、终边相同的角 　一般地，我们有： 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}， 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 理解3　终边相同的角表示及应用 角度1　求某区间内的终边相同的角 ►【例3】　指出下列各角是第几象限角，以及在0°～360°范围内与其终边相同的角． (1)485°；(2)－35°；(3)770°；(4)－500°． 【解】　(1)因为485°＝125°＋360°， 所以在0°～360°范围内，与485°角终边相同的角是125°，所以485°是第二象限角． (2)因为－35°＝325°－360°， 所以在0°～360°范围内，与－35°角终边相同的角是325°，所以－35°是第四象限角． (3)因为770°＝50°＋2×360°， 所以在0°～360°范围内，与770°角终边相同的角是50°，所以770°是第一象限角． (4)因为－500°＝220°－2×360°， 所以在0°～360°范围内，与－500°角终边相同的角是220°，所以－500°是第三象限角． 角度2　表示终边相同的角 ►【例4】　写出终边在图所示的直线上的角的集合． 【解】　(1)在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，又所有与0°角终边相同的角的集合为S1＝{β|β＝k·360°，k∈Z}，所有与180°角终边相同的角的集合为S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，所以，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}． (2)由题图易知，在0°～3