4.3 对数函数-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（湘教版）

4．3　对数函数 4．3．1　对数的概念 [素养目标]　1．理解对数的概念，知道自然对数或常用对数．　2．通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用． 一、对数的定义 一般地，如果ab＝N(a>0，且a≠1)，那么b叫作以a为底，(正)数N的对数，记作b＝logaN，其中，a叫作对数的底数，N叫作对数的真数． 二、对数与指数的关系 1．对数与指数的互化 2．底数a的范围是a>0且a≠1． 理解1　对数的概念 ►【例1】　(1)若loga2b＝c则(　　) A．a2b＝c　　　　　　　 B．a2c＝b C．bc＝2a D．c2a＝b 【解析】　选B　loga2b＝c⇔(a2)c＝b⇔a2c＝b． (2)使对数式loga(2a－1)有意义的a的取值范围为(　　) A．a> B．a>0且a≠ C．a>且a≠1 D．a>0且a≠1 【解析】　选C　由对数概念可知，解得a>且a≠1． (3)(多选题)下列指数式与对数式的互化中，正确的是(　　) A．100＝1与log1010＝1 B．27－＝与log27＝－ C．log3 9＝2与9＝3 D．log5 5＝1与51＝5 【答案】　BD 指数式与对数式互化的解题思路 1．指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． 2．对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 1．将3－3＝化为对数式 ． 答案：－3＝log3 2．log10 100＝ ． 答案：2 3．使对数式logx－1(x＋2)有意义的x的取值范围为 ． 解析：由题意得 即∴x>1且x≠2． 答案：x>1且x≠2 三、对数的基本性质 (1)负数和零没有对数． (2)loga 1＝0(a>0，且a≠1)． (3)logaa＝1(a>0，且a≠1)． 四、对数的基本恒等式 (1)alogaN＝N(N>0，a>0且a≠1)． (2)b＝logaab(b∈R，a>0且a≠1)． 理解2　对数性质的应用 ►【例2】　求下列各式中的x： (1)log3(log2x)＝0； (2)log3(log7x)＝1． 【解】　(1)由log3(log2x)＝0，得log2x＝1，∴x＝2． (2)由log3(log7x)＝1，得log7x＝31＝3，∴x＝73＝343． 用对数的基本性质求值的思路 根据loga1＝0和logaa＝1，按照从外到内的顺序层层求解． 4．若logπ(log3(loge x))＝0，则x＝ ． 解析：∵logπ(log3(loge x))＝0，∴log3(loge x)＝1， ∴loge x＝3，∴x＝e3． 答案：e3 理解3　对数基本恒等式的应用 ►【例3】　(1)2－1＋log2 ＝(　　) A．　 B．　 　 C．＋　 D．2 【解析】　选A　2－1＋log2＝2－1×2 log2＝，故选A． (2)若x＝log43，则2·4x＋4－x＝ ． 【解析】　由x＝log4 3， 则2·4x＋4－x＝2·4 log43＋4＝2×3＋ ＝6＋＝． 【答案】　 关于对数恒等式的应用 首先利用指数运算性质变形，变形为alogab的形式，再利用对数恒等式计算求值． 5．3 log34－2＝ ． 解析：3 log34－2＝3 log34×3－2＝4×3－2＝． 答案： 由对数恒等式，alogaN＝N拓展为logaax＝x(a>0，a≠1)，因为x＝logaN，∴ax＝N，将N＝ax代入x＝logaN中即得到logaax＝x． 1．＋log22等于(　　) A．　　　 B．3　　　　 C．4　　　 D．5 解析：选D　＝22＝4，log22＝1，故选D． 2．log10 102＝(　　) A．2 B．10 C．100 D．1 答案：A 3．若10m＝，则m＝ ． 解析：10m＝，∴m＝log10． 答案：log10 4．若log3(a＋1)＝1，则loga2＋log2(a－1)＝ ． 解析：∵log3(a＋1)＝1，∴a＋1＝3，解得a＝2． ∴loga2＋log2(a－1)＝log22＋log21＝1＋0＝1． 答案：1 [基础巩固] 1．若3x＝4，则x＝(　　) A．　　 B．　　　 C．log34　　 D．log43 解析：选C　根据对数的定义知x＝log34． 2．(多选题)以下说法正确的是(　　) A．只有正数有对数 B．任何一个指数式都可以化成对数式 C．以5为底25的对数等于2 D．3log3(－5)＝－5成立 解析：选AC　对于A，由对数的概念知，负数和零没有对数，故A正确；对于B，指数式(－