3.2 函数的基本性质-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（湘教版）

3．2　函数的基本性质 3．2．1　函数的单调性与最值 第一课时　函数单调性 [素养目标]　1．理解函数的单调性及其几何意义．　2．会借助函数图象研究函数单调性，求单调区间．　3．会用定义法、图象法判断、证明函数的单调性．　4．借助函数的单调性直观上比较大小，解不等式． 一、单调递增及增函数 名称 定义 图形表示 几何意义 增函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D：如果对于定义域D内某个区间I上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数，区间I称为f(x)的单调增区间 函数f(x)的图象在区间I上从左到右是上升的 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数． 二、单调递减及减函数 名称 定义 图形表示 几何意义 减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D：如果对于定义域D内某个区间I上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数，区间I称为f(x)的单调减区间 函数f(x)的图象在区间I上从左到右是下降的 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数． 三、单调性及单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫作y＝f(x)的单调区间． 理解1　函数单调性的判断或证明 角度1　利用图象求函数的单调区间 ►【例1】　(1)(多选题)(2023·龙岩高一检测)图中是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　) A．函数在区间[－5，－3]上单调递增 B．函数在区间[1，4]上单调递增 C．函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减 D．函数在区间[－5，5]上没有单调性 【解析】　选ABD　C是错误的，函数的单调减区间为[－3，1]，[4，5]．正确的是ABD． (2)函数y＝－|x＋1|在区间[－2，0]上(　　) A．递减　　　　　　 B．递增 C．先减后增 D．先增后减 【解析】　选D　函数y＝－|x＋1|的图象如图， ∴函数y＝－|x＋1|在[－2，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减． 角度2　利用定义证明函数的单调性 ►【例2】　讨论函数f(x)＝x＋(a>0)的单调性，请作出当a＝1时函数的图象． 【解】　显然f(x)的图象关于原点对称，所以先讨论函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性．设x1>x2>0，则 f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)． ∵当0<x2<x1≤时，>1， ∴f(x1)－f(x2)<0， 故f(x)在(0，)上是减函数． 当x1>x2≥时，0<<1， 则f(x1)－f(x2)>0，故f(x)在[，＋∞)上是增函数． ∵f(x)的图象关于原点对称， ∴f(x)分别在(－∞，－]，[，＋∞)上为增函数；f(x)分别在[－，0)，(0，]上为减函数． 当a＝1时，函数图象如图所示． 1．对于简单函数，可根据函数图象，判断函数单调性． 2．利用定义证明函数单调性的步骤 3．函数单调性定义的等价变形 设x1，x2∈[a，b]，x1≠x2，那么 (1)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数． (2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数． 1．(多选题)下列函数中，在区间(0，1)上单调递减的是(　　) A．y＝|x|－2 B．y＝|x－3| C．y＝ D．y＝－x2 解析：选BCD　y＝|x|－2的图象为①， y＝|x－3|的图象为②，y＝的图象为③，y＝－x2的图象为④． 故选BCD． 2．利用函数单调性的定义证明f(x)＝在(－1，1)上单调递减． 证明：设任意的x1，x2∈(－1，1)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝． 因为x1<x2，所以x2－x1>0． 又 ＋ >0，所以f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)， 所以函数f(x)＝在(－1，1)上单调递减． 理解2　函数单调性的简单应用 角度1　利用单调性比较大小 ►【例3】　如果函数f(x)＝x2＋bx＋c，对任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，试比较f(1)，f(2)，f(4)的大小． 【解】　由题意知，f(x)的对称轴为x＝2，故f(1)＝f(3)． ∵f(x)＝x2＋bx＋c，∴f(x)在[2，＋∞)上为增函数． ∴f(2)<f(3)<f(4)，即f(2)<f(1)<f(4)． 角度2　利用单调性解不等式 ►【例4】　已知y＝f(x)在定义域(－1