2.2 从函数观点看一元二次方程-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第一册同步核心辅导与测评（湘教版）

2．2　从函数观点看一元二次方程 [素养目标]　1．会结合二次函数图象，判断一元二次方程实数根的存在性及实数根的个数．　2．培养学生直观想象、逻辑推理素养． 1．二次函数与一元二次方程的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 2．二次函数的零点 一般地，使得ax2＋bx＋c＝0(a≠0)成立的实数x叫作二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点，一元二次方程的实数根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点，也就是二次函数图象与x轴交点的横坐标． 理解1　二次函数解析式的求法 ►【例1】　已知二次函数的最大值是8，且当x＝2时，y＝－1；当x＝－1时，y＝－1．求此一元二次函数的解析式． 【解】法一(利用一般式)： 设y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 由题意得解得 ∴所求二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7． 法二(利用顶点式)： 设y＝a(x－m)2＋n． ∵当x＝2时，y＝－1，且x＝－1时，y＝－1． ∴抛物线的对称轴为x＝＝． ∴m＝．又根据题意知函数有最大值8，∴n＝8． ∴y＝a＋8． 又抛物线过点(2，－1)， ∴a＋8＝－1，解得a＝－4， ∴y＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7． 求二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，选用解析式的形式，利用待定系数法求解． (1)若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为一般式y＝ax2＋bx＋c，a，b，c为常数，a≠0的形式． (2)若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式y＝a(x－h)2＋k(其中顶点(h，k)，a为常数，a≠0)． (3)若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，则设所求一元二次函数为两根式y＝a(x－x1)(x－x2)(a为常数，且a≠0)． 1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点为2和4，并且过点(0，3)，求该二次函数的表达式． 解：设所求函数解析式为y＝a(x－2)(x－4)(a≠0)， 整理得y＝ax2－6ax＋8a， ∴8a＝3，∴a＝． ∴解析式为y＝(x－2)(x－4)． 理解2　二次函数的图象及应用 ►【例2】　已知函数y＝x2－4x＋3． (1)求函数的零点； (2)若方程x2－4x＋3＝m，有两个不相等的零点，求m的取值范围． 解：(1)由x2－4x＋3＝0得x1＝1，x2＝3， 所以函数y＝x2－4x＋3的零点为1和3． (2)作出函数y＝x2－4x＋3的图象如图所示． 若方程x2－4x＋3＝m有两个不相等的实数根，则二次函数y＝x2－4x＋3的图象与直线y＝m有两个不同交点，观察图象可知，二次函数顶点纵坐标为－1，所以只有当m>－1时才能满足条件． 方程解的个数⇔函数零点的个数⇔方程等号两边所对应的函数图象交点的个数，因此，可利用函数图象公共点的个数来研究方程解的个数． 2．若1<x<3，a为何值时，函数y＝x2－5x＋3＋a有两个零点、一个零点、无零点？ 解：因为函数y＝x2－5x＋3＋a，①的零点就是一元二次方程x2－5x＋3＋a＝0的实数根，所以讨论函数y＝x2－5x＋3＋a的零点个数，只需讨论方程x2－5x＋3＋a＝0的实数根个数． 方程x2－5x＋3＋a＝0，②可化为a＝－x2＋5x－3，③ 作出函数y＝－x2＋5x－3(1<x<3)的图象如图． 显然该图象与直线y＝a的交点的横坐标是方程③的解，由图可知，当3<a<时，方程②有两解，即函数①有两个零点；当1<a≤3或a＝时，方程②有一解，即函数①有一个零点； 当a≤1或a>时，方程②无解，即函数①无零点． 理解3　一元二次方程根与系数关系的应用 ►【例3】　关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，问存不存在这样的实数k，使得|x1|－|x2|＝？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由． 解：(1)根据题意，得b2－4ac>0． ∴[－(2k－1)]2－4×1×(k2－2k＋3)>0． 解得k>，即实数k的取值范围是k>． (2)存在．由根与系数的关系，得x1＋x2＝2k－1，x1x2＝k2－2k＋3．∵k2－2k＋3＝(k－1)2＋2>0，即x1x2>0， ∴x1，x2同号．∵x1＋x2＝2k－1，k>， ∴x1＋x2>0，∴x1>0，x2>0． ∵|x1|－|x2|＝，∴x1－x2＝． ∴(x1－x2)2＝5，即(x1＋x2)2－4x1x2＝5．∴(2k