第3章 复 数 章末总结-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（湘教版）

章末总结 一、复数运算中的三种数学方法 1．化“虚”为“实” ►【典例1】　已知a，b∈R，且2＋ai，b＋3i(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根，那么a，b的值分别是(　　) A．a＝－3，b＝2　　　 B．a＝3，b＝－2 C．a＝－3，b＝－2 D．a＝3，b＝2 [解析]　法一：由复数的根成对共轭出现可知故选A． 法二：由根与系数的关系知 而此方程又是实系数方程，所以p和q是实数， 故 解得故选A． [答案]　A ►【典例2】　求使等式(2x－1)＋i＝y－(3－y)i成立的实数x，y的值． [解]　由复数相等的充要条件知 解得 即实数x，y的值分别为，4. 【思考】　解题的关键是复数相等的充要条件，即a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．特别地，a＋bi＝0⇔a＝b＝0. 2．分母“实数”化 ►【典例3】　＋的模等于______． [解析]　原式＝＋＝i6＋＝－1＋i. 所以－1＋i的模为. [答案]　 【思考】　复数的除法先化成分式的形式，再把分母实数化(分母与分子同时乘分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘i)． 3．利用模的运算性质 【典例4】　复数z1与2＋4i的积为2－16i，求|z1|. [解]　∵z1·＝2－16i， ∴|z1|·|2＋4i|＝|2－16i|. ∴|z1|＝. 【思考】　可利用复数模的性质|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝.z＝|z|2＝||2. 二、复数与其他知识的综合考查 1．与集合综合考查 【典例5】　若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于(　　) A．{－1} B．{1} C．{1，－1} D．∅ [解析]　因为A＝{i，－1，－i，1}，B＝{1，－1}， 所以A∩B＝{1，－1}． [答案]　C 2．与常用逻辑用语综合考查 【典例6】　设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　因为a＋＝a－bi为纯虚数，所以必有a＝0，b≠0. 而当ab＝0时，有a＝0或b＝0. 当a＝0，b≠0时，有ab＝0，反之不成立． 故“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件． [答案]　B 3．与三角函数综合考查 【典例7】　设z1，z2为复数，且满足|z1|＝5，＝2＋i(其中i为虚数单位)，则|z1－z2|的值为________． [解析]　由|z1|＝5，可设z1＝5(cos α＋isin α)， 由＝2＋i，得z2＝(2－i)(cos α＋isin α)， 于是，|z1－z2|＝|(3＋i)(cos α＋isin α)| ＝|(3cos α－sin α)＋(3sin α＋cos α)i| ＝ ＝. [答案]　 4．与几何图形的综合考查 【典例8】　i为虚数单位，若复数z满足|z|＝1，则的最大值为(　　) A．－1 B．2－ C．＋1 D．2＋ [解析]　＝＝|z－1－i|＝|z－(1＋i)|，其几何意义为在复平面内动点Z(Z为复数z在复平面内对应的点)到定点P(1，1)的距离．又|z|＝1，所以点Z在以O为圆心，1为半径的圆上． 如图，连接PO并延长，与圆O交于点Z1，当点Z与点Z1重合时，点Z到定点P的距离最大，且最大距离为＋1.故所求最大值为＋1. [答案]　C 学科网（北京）股份有限公司 $$