第2章 三角恒等变换 章末总结-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（湘教版）

章末总结 一、三角恒等变换技巧的拓展 三角函数题是高考的热点，素以“小而活”著称，除了掌握基础知识之外，还要灵活运用几个常用技巧 技巧1　角的变换 将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式，像这样的代换方法就是角的变换． ►【典例1】　已知sin＝，则cos＝________． [解析]　cos＝2cos2－1 ＝2sin2－1＝2×－1 ＝－. [答案]　－ 【思考】　正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“－α”表示待求角“＋2α”，善于发现前者和后者的一半互余． 技巧2　“式”的变换 注意公式的正用、逆用、变形应用以及升降幂等． ►【典例2】　＝________． [解析]　原式＝＝＝2. [答案]　2 【思考】　常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、平方关系等． sin2θ＋cos2θ＝1进行降幂：如sin4θ＋cos4θ＝(cos2θ＋sin2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ，等． 技巧3　“名”的变换 正弦与余弦的变换，切与弦的变换． ►【典例3】　已知tan θ＝－，则的值是________． [解析]　＝ ＝＝＝3. [答案]　3 【思考】　解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系式把“”化为关于sin θ和cos θ的二次齐次式的比． ►【典例4】　化简：sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－cos 2α·cos 2β. [解]　法一：(从“角”入手，化复角为单角) 原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－(2cos2α－1)·(2cos2β－1)＝sin2α·sin2β－cos2α cos2β＋cos2α＋cos2β－＝sin2α·sin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－ ＝sin2β＋cos2β－＝1－＝. 法二：(从“名”入手，化异名为同名) 原式＝sin2α·sin2β＋(1－sin2α)·cos2β－cos 2 α·cos 2β＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－cos 2α·cos 2β ＝cos2β－sin2α·cos 2β－cos 2α·cos 2β ＝cos2β－cos 2β· ＝－cos 2β ＝－cos 2β＝. 法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次) 原式＝·＋·－cos 2α·cos 2β＝(1＋cos 2αcos 2β－cos 2α－cos 2β＋1＋cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－cos 2αcos 2β＝＋cos 2αcos 2β－cos 2αcos 2β＝. 法四：(从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方) 原式＝(sin αsin β－cos αcos β)2＋2sin αsin βcos αcos β－cos 2α·cos 2β ＝cos2(α＋β)＋sin 2α·sin 2β－cos 2α·cos 2β ＝cos2(α＋β)－cos(2α＋2β) ＝cos2(α＋β)－[2cos2(α＋β)－1]＝. 二、三角恒等变换与三角函数的综合 应用三角恒等变换时要注意尽量做到三个“统一”：即角统一、三角函数名统一(切化弦)、次数统一(齐次式)．最后用辅助角公式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式． ►【典例5】　已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1(x∈R)． (1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值； (2)若f(x0)＝，x0∈，求cos 2x0的值． [解]　(1)f(x)＝2sin xcosx＋2cos2x－1＝(2sin xcos x)＋(2cos2 x－1)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin， 所以函数f(x)的最小正周期为π. 因为f(x)＝2sin在区间上为增函数，在区间上为减函数，又f(0)＝1，f＝2，f＝－1，所以函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)，可知f(x0)＝2sin. 又f(x0)＝， 所以sin＝. 由x0∈，得2x0＋∈. 从而cos＝－＝－. 所以cos 2x0＝cos＝ coscos＋sinsin ＝×＋×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$