第1章 平面向量及其应用 章末达标测试(一)-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（湘教版）

章末达标测试(一) 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题正确的是(　　) A．若a·b＝0，则a⊥b B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c 解析：选B．由a·b＝0可得a⊥b或a＝0或b＝0，故A不正确；λa＝0⇔λ＝0或a＝0，故B正确；由a2＝b2可得|a|＝|b|，但不一定有a＝b或 a＝－b，故C不正确；向量的数量积不满足消去律，故D不正确．故选B． 2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若∠A＝60°，a＝，b＝2，则cos C＝(　　) A．　　　　 B． C． D． 解析：选B．因为∠A＝60°，a＝，b＝2，所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得6＝4＋c2－2×2·c·，即c2－2c－2＝0，解得c＝1＋，或1－(舍去)， 则cos C＝＝＝.故选B． 3．在△ABC中，已知D是边AB上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝(　　) A．　 B．　 　 C．　 D． 解析：选B．由已知得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，因此λ＝，故选B． 4．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝80，b＝100，A＝30°，则B的解的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．不确定 解：选C．因为a＝80，b＝100，A＝30°， 由正弦定理得，＝， 所以sin B＝， 因为a＜b，所以B＞A， 故B有两解． 5．已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　) A．－ B． C． D． 解析：选C．如图，根据题意得＝＋＝＋，＝－，故·＝·(－)＝－＋－·＝.故选C． 6．已知△ABC外接圆的半径为1，圆心为O.若||＝||，且2＋＋＝0，则·＝(　　) A． B．2 C． D．3 解析：选D．因为2＋＋＝0，所以(＋)＋(＋)＝0，即＋＝0，所以O为边BC的中点，故△ABC为直角三角形，A为直角，又因为||＝||，所以△OAB为等边三角形，||＝1，||＝2，||＝，与的夹角为30°，则·＝×2·cos 30°＝3.故选D． 7．对于n个向量a1，a2，a3，…，an，若存在n个不全为0的实数k1，k2，k3，…，kn，使得k1a1＋k2a2＋k3a3＋…＋knan＝0成立，则称向量a1，a2，a3，…，an是线性相关的，按此规定，若使向量a1＝(1，0)，a2＝(1，－1)，a3＝(2，2)线性相关的实数为k1，k2，k3，则k1＋4k3的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：选B．由题意知k1a1＋k2a2＋k3a3＝0，即k1(1，0)＋k2(1，－1)＋k3(2，2)＝0，即(k1＋k2＋2k3，－k2＋2k3)＝0，所以k1＋k2＋2k3＝0且－k2＋2k3＝0，所以k1＋4k3＝0.故选B． 8．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若三边的长为三个连续的正整数，且A＞B＞C，3b＝20acos A，则sin A∶sin B∶sin C为(　　) A．4∶3∶2 B．5∶6∶7 C．5∶4∶3 D．6∶5∶4 解析：选D．由题意可得a＞b＞c，且a，b，c为连续的正整数，不妨设c＝n，b＝n＋1，a＝n＋2(n＞1，且n∈N*)，则由余弦定理及3b＝20acos A可得3(n＋1)＝20(n＋2)·，化简得7n2－13n－60＝0，n∈N*，解得n＝4，由正弦定理可得sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝6∶5∶4. 二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分) 9．若M为△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状可以为(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 解析：选AD．由|－|＝|＋－2|，可得||＝|＋|，它的几何意义是以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线长度相等．所以AB⊥AC，△ABC是直角三角形． 10．对任意向量a，b，下列关系式中恒成立的是(　　) A．|a·b|≤|a||b| B．|a－b|≤||a|－|b|| C．(a＋b)2＝|a＋b|2 D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2 解析：选ACD．|a·b|＝|a|·|b|·|cos〈a，b〉|≤|a|·|b|，故A正确；由向量的运算法则知C，D正确；当b＝－a≠0时，|a－b|＞||a|－|b||