第1章 平面向量及其应用 章末总结-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（湘教版）

章末总结 一、平面向量基本定理的应用技巧 平面向量基本定理是将所求向量表示为已知向量的依据，是用向量研究问题的基础． 技巧1　构造某一向量在同一基底下的两种不同的表达形式，用“若e1，e2为基，且a＝x1e1＋y1e2＝x2e1＋y2e2，则有，来求解． ►【典例1】　在△OAB的边OA，OB上分别取点M，N，使||∶||＝1∶3，||∶||＝1∶4，设线段AN与BM交于点P，记＝a，＝b，用a，b表示向量. [解]　∵B，P，M共线， ∴存在常数s，使＝s， 则＝ ＋ . 即＝ ＋ ＝a＋b.① 同理，存在常数t，使＝t， 则＝ a＋b.② ∵a，b不共线， ∴解得 ∴＝a＋b. 【思考】　这里选取，作为基底，构造在此基底下的两种不同的表达形式，再根据相同基底的系数对应相等得到实数方程组，最后进行求解． 技巧2　构造两个共线向量在同一基底下的表达形式，用“若e1，e2为基底，a＝x1e1＋y1e2，b＝x2e1＋y2e2，且a∥b，则x1y2－x2y1＝0”来求解． ►【典例2】　如图，在△OAB中，＝，＝，AD与BC交于点M，设＝a，＝b. (1)用a、b表示； (2)已知在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q，求证：＋＝1. [解]　(1)设＝ma＋nb，则 ＝(m－1)a＋nb，＝－a＋b. ∵点A、M、D共线，∴与共线， ∴(m－1)－(－1)·n＝0，∴m＋2n＝1.① 而＝－＝a＋nb，＝－a＋b. ∵C、M、B共线，∴与共线， ∴－n－＝0.∴4m＋n＝1.② 联立①②可得m＝，n＝， ∴＝a＋b. (2)证明：＝a＋b，＝－pa＋qb， ∵与共线， ∴q－·(－p)＝0. ∴q－pq＝－p，即＋＝1. 【思考】　这里多次运用构造一组共线向量的表达形式，再根据共线向量基底的系数关系建立方程组求解． 技巧3　将题目中的已知条件转化成λ1e1＋λ2e2＝0的形式(e1，e2不共线)，根据λ1＝λ2＝0来求解． ►【典例3】　如图，已知P是△ABC内一点，且满足条件＋2＋3＝0，设Q为CP的延长线与AB的交点，令＝p，试用向量p表示. [解]　∵＝＋，＝＋， ∴(＋)＋2(＋)＋3＝0， ∴＋3＋2＋3＝0， 又∵A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线， ∴＝λ，＝μ， ∴λ＋3＋2＋3μ＝0， ∴(λ＋2)＋(3＋3μ)＝0. 而，为不共线向量， ∴∴λ＝－2，μ＝－1. ∴＝－＝. 故＝＋＝2＝2p. 【思考】　这里选取、两个不共线的向量作为基底，运用转化与化归思想，最终变成λ1e1＋λ2e2＝0的形式来求解． 二、三角形中的范围(最值)问题的求解策略 策略1　化为以边长为变量的函数 ► 【典例4】　满足条件AB＝2，AC＝BC的三角形ABC的面积的最大值是________． [解析]　设BC＝x，则AC＝x， 根据三角形面积公式得 S△ABC＝AB·BCsin B ＝×2x， 根据余弦定理得cos B＝ ＝＝， 代入上式得S△ABC＝x ＝ ， 由三角形三边关系有 解得2－2＜x＜2＋2， 故当x＝2时，S△ABC取得最大值，为2. [答案]　2 【思考】　通过正、余弦定理或面积公式化为以边长为变量的一般函数的形式，求解值域． 策略2　用动态化为极限状态 ►【典例5】　在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围为________． [解析]　如图，当A点向B点方向沿AB运动时，过C作A′C∥AD．四边形ABCD到达一个极限位置，此时BC＝2，∠CA′B＝75°，∠B＝75°，∠A′CB＝30°，A′B为AB的最小状态． ∴A′B＝ ＝－. 当AD沿BA方向平行移动时，CD的延长线与BA的延长线交于P，当A与P重合时，PB为AB的最大状态，∠P＝30°，在等腰三角形PBC中，PB＝＝＋. [答案]　(－，＋) 【思考】　通过平移AD，产生两个极限位置A′B与PB． 三、三角下的结构不良试题 ►【典例6】　(2020·新高考全国卷Ⅰ)在①ac＝，②csin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，________？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． [解]　方案一：选条件①. 由C＝和余弦定理的推论得cos C＝＝. 由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b. 于是＝，由此可得b＝c. 由ac＝，解得a＝，b＝c＝1. 因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1. 方案二：选条件②. 由C＝和余弦定理的推论得cos ＝＝. 由sin A＝sin B及