3.3 复数的几何表示-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（湘教版）

3．3　复数的几何表示 [素养目标]　1.会用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系．　2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等的概念．　3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．　4.了解复数加减法的几何意义．　5.培养学生直观想象，数学运算的学科素养． 一、复数的几何意义 1．复平面 (1)复平面 我们把一个建立了直角坐标系来表示与全体复数一一对应关系的平面叫作复平面． (2)实轴：坐标系中的x轴叫作实轴，实轴上的点都表示实数． (3)虚轴：坐标系中的y轴叫作虚轴，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数的几何意义 (1)复数集C中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系： 复数z＝a＋bi对应复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义． (2)复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了一一对应关系(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi平面向量． 理解1　复数与复平面内点及向量的对应关系 角度1　复数与点的对应关系 ►【典例1】　(1)欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．特别是当x＝π时，eiπ＋1＝0被认为是数学中最优美的公式．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数对应的点在复平面中位于(　　) A．第一象限　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [解析]　(1)e2i＝cos 2＋isin 2， 因为α＝2 rad是第二象限的角，所以sin 2>0，cos 2<0，所以e2i表示的复数对应的点位于第二象限． [答案]　B (2)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　) A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i [解析]　复数6＋5i对应的点A的坐标为(6，5)，－2＋3i对应的点B的坐标为(－2，3)．由中点坐标公式知点C的坐标为(2，4)，∴点C对应的复数为2＋4i，故选C. [答案]　C (3)设复数z＝(a＋1)＋(2－a2)i，对应的点Z满足下列关系，求a的范围． ①点Z在第二象限； ②点Z在直线y＝2x上． [解]　①如满足点Z在第二象限，则须有 解得－＜a＜－1. ②如点Z在y＝2x上，则有2－a2＝2(a＋1)， 即a＝0或a＝－2. 角度2　复数与向量的对应关系 ►【典例2】　向量对应的复数是5－4i，向量2对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是(　　) A．－10＋8i B．10－8i C．0 D．10＋8i [解析]　因为向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，所以＝(5，－4)，＝(－5，4)，所以＋＝(5，－4)＋(－5，4)＝(0，0)，所以＋对应的复数是0. [答案]　C 利用复数与点的对应解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据． (2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解． (3)以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变． (4)可以利用向量的运算求解复数． 1．(多选题)复数z＝2x＋(y2－2y＋1)i，(x，y∈R)表示点可以在(　　) A．第一象限 B．实轴 C．原点 D．实轴的正半轴 解析：选AD．设a＝2x＞0，b＝y2－2y＋1≥0，所以点Z(a，b)在第一象限或实轴正半轴上，故选AD． 2．若关于实数x的不等式mx2－nx＋p＞0(m，n，p∈R)的解集为(－1，2)，则复数m＋pi在复平面内所对应的点位于第________象限． 解析：因为mx2－nx＋p＞0(m，n，p∈R)的解集为(－1，2)，所以，所以m＜0，p＞0，故复数m＋pi在复平面内所对应的点位于第二象限． 答案：二 3．在复平面内，把复数3－i对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是(　　) A．2 B．－2i C．－3i D．3＋i 解析：选B．复数对应的向量的坐标为(3，－)，按顺时针方向旋转后得到新向量的坐标为(0，－2)，所得向量对应的复数为－2i. 二、复数的模与共轭复数 1．复数的模 复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面上所对应的向量的模称为复数z的模，也称为z的绝对值，记作|z|. 2．写法：|z|＝|a＋bi|＝ ，其中a，b∈R. 3．模的几何意义：复数z的模就是复数z＝a＋bi(a，b∈R)所对应的点Z(a，b)到原点(0