1.4 向量的分解与坐标表示-【高考领航】2023-2024学年高中数学必修第二册同步核心辅导与测评（湘教版）

1．4　向量的分解与坐标表示 1．4.1　向量分解及坐标表示 [素养目标]　1.了解平面向量基本定理及其意义，了解向量基的含义，会用基表示向量．(难点)　2.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示，理解向量坐标的概念．(重点)　3.向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系．(易混点)　4.培养学生直观想象、数学抽象和逻辑推理的核心素养． 一、平面向量基本定理 1．平面向量基本定理 设e1，e2是平面上两个不共线向量，则 (1)平面上每个向量v都可以分解为e1，e2的实数倍之和，即v＝xe1＋ye2，其中x，y是实数． (2)实数x，y由v＝xe1＋ye2唯一决定，也就是： 如果v＝xe1＋ye2＝x′e1＋y′e2，则x＝x′，y＝y′． 2．基 不共线向量e1，e2组成平面上的一组基{e1，e2}，分解式v＝xe1＋ye2中的系数x，y组成的有序数组(x，y)，称为v在这组基下的坐标． 理解1　对基的概念的理解 ►【典例1】　(1)设e1，e2是平面内所有向量的一组基，则下列四组向量中，不能作为基的是(　　) A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2 C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2 [解析]　B中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)， ∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)， ∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为平面的基． [答案]　B (2)已知e1与e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2，且a与b是一组基，则实数λ的取值范围是________． [解析]　考虑向量a，b共线，则有λ＝，故当{λ|λ≠}时，向量a、b不共线，可作为一组基． [答案]　∪ 考查两个向量能否构成平面上的一组基，主要看两向量是否不共线；一个平面的基一旦确定，平面上任意一个向量都可以由这组基唯一线性表示出来． 1.点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基的一对向量是(　　) A．， B．， C．， D．， 解析：选B．由题图可知，与，与，与共线，不能作为基向量，与不共线，可作为基向量． 理解2　平面向量基本定理的应用 角度1　用基表示向量 ►【典例2】　如图所示，在▱ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若＝a，＝b， (1)试用基{a，b}表示向量，； (2)试用基{a，b}表示. [解]　(1)＝＋＋ ＝－＋＋ ＝－＋＋＝a－b. ＝＋＋ ＝－＋＋＝b－a. (2)由平面几何知识知BG＝BF， 故＝＋＝＋ ＝a＋(b－a) ＝a＋b－a＝a＋b. 角度2　利用平面向量基本定理求参数 ►【典例3】　(1)如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　) A．　　 B．　　　 C．1　　 D．3 [解析]　∵＝，＝m＋， ∴＝m＋. 法一：设＝λ(λ>0)，则可得＝＝(－)，则＝＋＝＋， ∴解得 法二：由题意知，B，P，N三点共线，由三点共线的性质定理可知m＋＝1，∴m＝. [答案]　A (2)如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交圆O外一点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________． [解析]　设＝k(k<0)， 又|k|＝<1，∴－1<k<0. ∵B，A，D三点共线，∴＝λ＋(1－λ)， ∴＝m＋n＝kλ＋k(1－λ)， ∵，不共线，∴m＝kλ，n＝k(1－λ)， ∴m＋n＝k，从而m＋n∈(－1，0)． [答案]　(－1，0) 1．用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法 (2)方程法 当直接法表示比较困难时，可以先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． 2．一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则从而将向量相等，转化为实数等式或实数关系． 2.如图，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，则＝(　　) A．－3 B．3 C．2 D．－2 解析：选B．因为＝＝(－)． 又因为＝， 所以＝＝－. 所以＝＋＝＋－＝＋， 又＝λ＋μ且与不共线，所以λ＝，μ＝.则＝3. 3．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c. 解析：因为a，b不共线， 所以可设c＝xa＋yb，x，y∈R， 则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2) ＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2. 又因为e1，e2不共线， 所以 解得x＝1，y＝－2，所以c＝a－2b. 二、平面向量的正交分解与坐标表示 1．正交分解 把一个向量分解为两个互