专题1.5 向量的数量积（高效培优讲义）高一数学湘教版必修第二册

1-5 向量的数量积 讲义 教学目标 理解数量积概念、公式及运算律、掌握向量夹角、模、向量垂直、投影等计算方法. 教学重点 向量数量积的运算，向量夹角、模、向量垂直、投影向量等计算方法. 教学难点 向量夹角、模、投影向量. 知识点01 向量数量积概念与运算 1.向量与的夹角 已知两个非零向量和.作，＝，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量与的夹角. 当θ＝0°时，与同向； 当θ＝180°时，与反向. 如果与的夹角是90°，我们说与垂直，记作. 2.平面向量的数量积 (1)若，为非零向量，夹角为θ，则. (2)设，则. 3.平面向量数量积的运算律 (1) (交换律)； (2)λ＝λ()＝ (结合律)； (3) (分配律)． 4.平面向量数量积运算的常用公式 (1) ． (2)． (3)． (4)极化恒等式：； (平行四边形模式) 5.常用性质 (1)或 (2) 【即学即练1-1】(24-25高一下·天津·月考)若向量，满足，与的夹角为60°，则等于(   ) A． B． C． D．2 【即学即练1-2】(25-26高一上·广东广州·期末)如图所示，已知中，点依次是边上的三个四等分点，若，则(   ) A． B． C． D． 知识点02 向量数量积的应用 1.利用数量积求长度 (1)若，则. (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：. 2.利用数量积求夹角：设，为非零向量，若，θ为，的夹角， 则 3.向量的投影与投影向量 向量在向量上的投影为:． 向量在向量上的的投影向量为：. 4.两个非零向量垂直的充要条件 若，则 (1)⊥⇔·＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 【即学即练2-1】(25-26高一上·安徽合肥·期末)已知单位向量满足，则向量与向量的夹角为(   ) A． B． C． D． 【即学即练2-2】(多选)(24-25高一下·江苏苏州·月考)下列说法正确的是(    ) A．若，且，则 B．已知为单位向量，若，则在上的投影向量为 C．设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件 D．若，则与的夹角是锐角 题型01 向量数量积的概念 【典例1-1】(24-25高一下·天津·期末)已知是等边三角形，边长为4，则(   ) A． B．8 C． D． 【典例1-2】(24-25高一下·北京延庆·期中)已知，，，则为(   ) A． B． C． D． 【典例1-3】(多选)(24-25高一下·陕西渭南·期末)已知向量，则下列说法正确的是(   ) A．或 B． C．命题“若，则”是假命题 D． 【典例1-4】(24-25高一下·贵州贵阳·期末)已知等边的边长为1，，那么 【变式1-1】(23-24高一下·北京·开学考试)记时钟的时针、分针分别为、(为两针的旋转中心)．从12点整开始计时，经过分钟，的值第一次达到最小时，那么的值是(   ) A．30 B．31 C． D． 【变式1-2】(24-25高一下·北京顺义·期末)设，为两个非零向量，则“”是“存在实数，使得”的(   ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】(25-26高一上·浙江温州·期末)已知平面内的非零向量，则“”是“”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-4】(23-24高一下·浙江·期中)折扇深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉棚齐编凤翅长”.折扇平面图为下图的扇形，其中，，，动点在弧上(含端点)，连接交扇形的弧于点，且，则下列说法错误的是(    ) A．若，则 B． C． D．若，则 【变式1-5】(多选)(25-26高一上·江苏盐城·期中)在所在的平面内有两点P，Q，满足，，且与交于点M，，则下列说法正确的是(    ) A． B． C． D． 【变式1-6】(24-25高一下·湖南·期中)如图，已知点G是边长为2a的正六边形ABCDEF内一点(含边界)，则下列说法正确的是(   ) A． B． C． D．的取值范围为 题型02 向量数量积的运算 【典例2-1】(23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考)向量满足，向量与的夹角为，则(    ) A．0 B．8 C． D． 【典例2-2】(25-26高一上·安徽合肥·期末)已知单位向量满足，则向量与向量的夹角为(   ) A． B． C． D． 【典例2-3】(多选)(23-24高一下·河南周口·月考)关于平面向量，，，下列说法不正确的是(    ) A． B． C．若，且，则 D． 【典例2-4】(25-26高一上·福建厦门·期末)单位向量 满足，则 【变式2-1】(24-25高一下·江苏连云港·月考)已知向量，满足，，若与的夹角为，则(    ) A． B． C． D． 【变式2-2】(25-26高一上·北京延庆·期末)已知向量，在平面直角坐标系中的位置如图所示，则的值为(    )．    A． B．2 C． D． 【变式2-3】(25-26高一上·浙江台州·期末)若非零向量，的夹角为，，，则的值为(   ) A． B．1 C． D． 【变式2-4】(24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考)起点重合，，则的最大值为(   ) A． B．3 C． D． 【变式2-5】(多选)(24-25高一下·河北·月考)已知向量满足，它们的夹角为，则下列向量中，与向量的模相等的向量有(    ) A． B． C． D． 【变式2-6】(24-25高一下·广东汕头·期末)已知向量，满足，，且，则 . 题型03 向量数量积的应用 【典例3-1】(25-26高一上·江苏南通·月考)已知向量，若，则等于(   ) A． B．1 C．4 D． 【典例3-2】(24-25高一下·江苏连云港·月考)已知向量，满足，，若与的夹角为，则(    ) A． B． C． D． 【典例3-3】(多选)(24-25高一下·甘肃临夏·期末)对于平面向量，下列说法正确的是(   ) A．若．则 B．若，则与的夹角为钝角 C．，则与可能垂直 D．若，则 【典例3-4】(25-26高一上·江苏无锡·期末)已知向量满足，且与的夹角为，则 . 【变式3-1】(23-24高一下·四川达州·期末)已知向量，则(    ) A． B． C． D． 【变式3-2】(25-26高一上·安徽合肥·期末)已知单位向量满足，则向量与向量的夹角为(   ) A． B． C． D． 【变式3-3】(25-26高一上·云南昭通·期末)已知向量，满足，，，则向量，的夹角的余弦值为(   ) A． B． C． D． 【变式3-4】(25-26高一上·浙江台州·期末)若非零向量，的夹角为，，，则的值为(   ) A． B．1 C． D． 【变式3-5】(多选)(25-26高一上·福建厦门·期末)已知向量，，，则(   ) A． B．，使得 C．，使得 D．，使得 【变式3-6】(25-26高一上·浙江温州·期末)在中，，分别是上的动点，且，记CD与AE的交点为，若，则 ． 题型04 投影向量 【典例4-1】(22-23高一下·江苏连云港·月考)向量在向量上的投影向量为(　　) A． B． C． D． 【典例4-2】(24-25高一下·湖北黄石·期末)已知向量为单位向量，向量在上的投影向量为，则(   ) A． B． C．0 D． 【典例4-3】(多选)(23-24高一下·江苏盐城·月考)下列说法中正确的是(    ) A．平面向量的一个基底中，一定都是非零向量 B．在平面向量基本定理中，若，则 C．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的 D．若单位向量的夹角为，则在上的投影向量是 【典例4-4】(24-25高一下·天津·期末)已知为一个单位向量，与的夹角为，若在上的投影向量为，则 ． 【变式4-1】(24-25高一下·湖北襄阳·期末)已知向量满足且单位向量在方向上的投影向量为，则向量与的夹角为(   ) A． B． C． D． 【变式4-2】(24-25高一下·辽宁·期中)已知向量，满足，，则在上的投影的数量为(   ) A． B． C． D．2 【变式4-3】(2025·江西宜春·模拟预测)已知向量、满足，，若在上的投影向量为，则(   ) A． B． C． D． 【变式4-4】(2025·广东·模拟预测)已知向量在向量上的投影向量为，，则(   ) A． B． C． D．3 【变式4-5】(多选)(24-25高一下·安徽合肥·期末)已知中，，则下列说法正确的是(    ) A． B． C． D．在上的投影向量为 【变式4-6】(24-25高一下·吉林长春·期末)已知，是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则 . 一、单选题 1.(24-25高一下·浙江杭州·期中)已知向量和向量的夹角为，且，则的值为(    ) A．1 B． C．2 D． 2.(25-26高一上·云南昆明·期末)已知都是非零向量，则“”是“”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3.(25-26高一上·北京西城·期末)向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长为1，则(   )    A． B． C．5 D． 4.(25-26高一上·江苏常州·期末)已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为(    ) A． B． C． D． 5.(24-25高一下·福建福州·期末)已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是(   ) A． B． C． D． 6.(25-26高一上·广东广州·期末)如图所示，已知中，点依次是边上的三个四等分点，若，则(   ) A． B． C． D． 7.(25-26高一上·北京西城·期末)在平面直角坐标系xOy中，已知，，，且，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 8.(23-24高一下·江苏徐州·期中)已知平面非零向量，满足，则的最小值为(    )． A．12 B．24 C．18 D．16 二、多选题 9.(24-25高一下·四川泸州·期中)下列叙述中正确的是(   ) A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则与垂直的单位向量的坐标为或 10.(25-26高一上·河北保定·期末)下列命题正确的是(   ) A．在中，，则的形状一定是直角三角形 B．平行四边形中，若，则四边形是矩形 C．若，，，四点在同一条直线上，且，则 D．在中，若，则点的轨迹经过的内心 11.(22-23高一下·辽宁锦州·期末)如图，在中，，，F是AC的中点，则下列说法正确的是(    )    A．若，点D在线段BC的延长线上，则 B．若E是线段AB的中点，BF与CE相交于点Q，则 C．若E是线段AB上一动点，则为定值 D．若点P在线段AC上，则的值可以是 三、填空题 12.(25-26高一上·江苏无锡·期末)如图，等边的边长为1，点分别为的中点，连接并延长到点，使得，则 . 13.(2026·上海·高考真题)在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为 . 14.(23-24高一下·山东日照·期中)已知平面向量对任意实数都有，成立．若，则的取值范围是 ． 四、解答题 15.(25-26高一上·山东日照·期末)已知平面内三个向量，，. (1)若，求实数，的值；(2)若，求实数的值；(3)已知，求的最小值. 16.(25-26高一上·湖南长沙·期末)已知平面向量与的夹角为，且. (1)求；(2)若与垂直，求的值. 17.(25-26高一上·江苏南通·月考)在平面直角坐标系中，已知． (1)若为轴上的一动点，点．当三点共线时，求点的坐标； (2)若为直线OA的一动点，求的最小值及此时P的坐标； (3)若，且与的夹角，求的取值范围． 18.(23-24高一下·云南昆明·期中)设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：试求解下列问题： (1)已知向量满足，，，求的值； (2)①若，，用坐标，，，表示； ②在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； (3)已知向量，，，求的最小值. 19.(24-25高一下·北京西城·期中)对于一组向量(且)，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“1向量”. (1)设，若是向量组的“1向量”，求实数的取值范围； (2)若，则向量组是否存在“1向量”?若存在，求出“1向量”；若不存在，请说明理由； (3)已知均是向量组的“1向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列且)满足：为坐标原点，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最大值. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1-5向量的数量积讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01向量数量积的概念 1-5向量的数量积 题型02向量数量积的运算 知识点01向量数量积的概念与运算 题型03向量数量积的应用 题型04投影向量 知识点02向量数量积的应用 教学目标、教学重难点 教学目标 理解数量积概念、公式及运算律、掌握向量夹角、模、向量垂直、投影等计算方法， 教学重点 向量数量积的运算，向量夹角、模、向量垂直、投影向量等计算方法 教学难点 向量夹角、模、投影向量 知识清单 知识点01向量数量积概念与运算 1.向量a与b的夹角 已知两个非零向量d和6.作0A=a,0B=五，则∠AoB=(0°≤0≤180)叫做向量a与b的夹角 当0=0°时，a与b同向： 当0=180时，与b反向. 如果a与b的夹角是90°，我们说a与i垂直，记作d1. 2.平面向量的数量积 (1)若a,为非零向量，夹角为0，则a.万=d·cos0. (2)设a=(x1,y),五=(x2,y2),则a·万=x1x2+y1y2 3.平面向量数量积的运算律 (1)a.=万a(交换律)： (2)a·万=1d.万=a·(☑石)（结合律）： (3)G+·=d.+b·c(分配律) 4平面向量数量积运算的常用公式 (1)a+·a-万=@2-而2. (2)a+万2=@2+而2+2a.方=@2++2a.. (3)a-2=@2+⑥2-2a·万=2+-2a.方. ④极化恒等式：a·=[a+可2-a-万] 第1页共32页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (平行四边形模式)a·石=[4C2-DB] 5.常用性质 (1)a.a=l1d或a=√d2 ②-@·≤a·万≤@刷 【即学即练1-1】(24-25高一下…天津.月考)若向量a,b满足==1，a与的夹角为60°，则a.b等于() A.月 8.是 c.1+号 D.2 【答案】A【难度】0.94【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】借助数量积公式计算即可得. 【详解】a:6=同los(位)=1×1× 故选：A 【即学即练1-2】(25-26高一上·广东广州·期末)如图所示，已知△ABC中，点P,Q,R依次是边BC上的三个 四等分点，若AP·AR=20,BC=8,则AB·AC=() A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】B【难度】0.65【知识点】数量积的运算律、平面向量基本定理的应用、向量加法法则的几何应用 【分析】以BC的中点Q为核心，通过将所求向量均用AQ及相关的有向线段表示，并利用向量乘积的分配律 与平方差公式进行化简，已知AP,AR=20结合QP的长度得到AQ的值，再对AB·AC向量分解，借助中点 性质QB=-QC最终将所求化为AQ-QB的数值计算 【详解】AP·AR=(A0+QP·(AQ+QR=(AQ+QP·(AQ-QP) =AQ2-PQ2=20,÷AQ2=24,又Q为BC中点，QB2 08=(月°=16， AB·AC AQ+QB Q+QC AQ2-QB2=24-16=8 故选：B 知识点02向量数量积的应用 1.利用数量积求长度 (1)若a=(x,y),则=√@2=a·a=√x2+y2 (2)若A1,y),B(2,y),则：AB=V(x2-x1)2+y2-y1)2 2.利用数量积求夹角：设a,b为非零向量，若a=(x1,y1),b=(x2,y2),0为a,b的夹角， 则c0s0=a +、+坊 x1x2+y1y2 3.向量的投影与投影向量 第2页共32页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 向量a在向量五上的投影为：lcos0= 可 向量在向量b上的的投影向量为：cos0.三 _a66 =同可 4两个非零向量垂直的充要条件 若=(x1,y1),b=(x2,y2),则 (1)a⊥b台b=0台x1x2+y2=0. 即学即练2-1】(25-26高一上·安徽合肥期末)已知单位向量，满足a-2=V7,则向量a与向量五的夹角 为) A君 B.8 C. 0.9 【答案】D【难度】0.85【知识点】已知模求数量积、向量夹角的计算、数量积的运算律 【分析】根据单位向量的概念，利用数量积的定义式以及运算律，建立方程求解即可。 【详解】由单位向量a,6,反-2=V7,可知d=1,=1,a-2-7, 故a-2-(a-2b6)=-4a6+46=5-4a6, 设向量a与向量的夹角为0，则a-2=5-4a.方=5-4同·lc0s0=5-4os0, 所以5-4cos6=7,解得c0s9=-2 由0∈[0，m,可知6=等 故选：D. 【即学即练2-2】（多选）24-25高一下·江苏苏州·月考)下列说法正确的是() A.若d,b=d·c,且a≠0，则b=c B.已知dl=6,e为单位向量，若<a,e>=,则a在e上的投影向量为-32e C.设元，为非零向量，则“存在负数几，使得m=是“m·元<0"的充分不必要条件 D.若a·b>0,则a与b的夹角是锐角 【答案】BC【难度】0.94【知识点】数量积的运算律、求投影向量 【分析】利用向量的运算法则可判断A,利用投影向量的求法可判断B,利用数量积的含义可判断C,D. 【详解】因为a,b=a·c,所以a,6-d=0,即a16-),不一定得出b=c,A不正确： 在上的投影向量8产分一3W2运，B正确 2 若存在负数1，使得元=杭，则元：元=2<0，若而元<0，则（元，动∈（凭可 不能得出“存在负数，使得元=产，C正确： 若a·方>0，则（位，列∈[0，）a与的夹角不一定是锐角，D不正确 故选：BC 题型精讲 第3页共32页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型01向量数量积的概念 【典例1-1】(24-25高一下.天津.期末)已知△ABC是等边三角形，边长为4，则AB·BC=() A.-8 B.8 c.-4v3 D.-3 【答案】A【难度】0.94【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】利用向量的数量积的定义求解即可 【详解】因为△ABC是等边三角形，边长为4， 所以AB·BC=AB:|BCcos(180°-60)=4×4×() =-8 故选：A 【典例1-2】(24-25高一下北京延庆期中)已知=V3,=2,a·b=3,则（亿，b)为） A.君 B.4 c.号 D.2 【答案】A【难度】0.94【知识点】向量夹角的计算 【分析】代入公式直接计算可得. 【详解】因为cos<a,b>= 号所以<a,>日 故选：A. 〖典例1-3】（多选）(24-25高一下.陕西渭南·期末)已知向量a,b,c,则下列说法正确的是(） A.a·b=0曰a=0或b=可 B.a1b曰a·b=0 C.命题“若a元=ab,则b=是假命题D.b)·c=a,(b·) 【答案】BC【难度】0.85【知识点】用定义求向量的数量积、垂直关系的向量表示 【分析】根据向量的数量积公式和性质逐一判断即可。 【详解】对于A,若a.i=0,则cos<a,i>=0,可能是cos<a,i>=0,<a,万>=5不一定是a=0 或D=0,故A错误： 对于B,若a1万，则<d,i>=cos<a,万>=0，a:万=cos<d,b>=0,反之，若db=0,则 lcos<a万>=0，可能是cos<a,i>=0,<a,i>=或a=0或万=0，且零向量和任何向量垂直， 故a1,B正确： 对于C,若a·c=a·b,则dcos<a,c>=al bcos<d,b>,可能是cos<d,c>=cos<a,b>,不一 定是b=c,故命题“若a·c=ab,则b=是假命题，C正确： 对于D,a,b是数量，则a·b)·表示与c共线的向量，b·c是数量，则a,(心，表示与a共线的向量，c与a 不一定共线，则d·b)·c=a·⑦·)不成立，故D错误 故选：BC 凰典例1-4124-25高一下.贵州贵阳期末)已知等边△ABC的边长为1，CB=d,CA=b,AB=c,那么a·b+b. c+c.a= 【答案】0.5【难度】0.85【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 第4页共32页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】利用△ABC是等边三角形得出和b,a和C,c和b的夹角的度数，即可求出a·万+·c+c,d的值」 【详解】由题意，在等边△ABC中，边长为1，三个内角都为60°，CB=d,CA=五，AB=c, ∴.<a,b>=60°，<b,c>=120°，<a,c>=60°， ∴a.i+i·c+c,a=bcos(a,b+bclcos(b,c+@dcos(a,c =1×1×c0s60+1×1×c0s120+1×1×c0s60°=t7 故答案为： 【变式1-1】(23-24高一下.北京·开学考试)记时钟的时针、分针分别为0A、0B(0为两针的旋转中心以.从12 点整开始计时，经过m分钟，OA·OB的值第一次达到最小时，那么m的值是() A.30 B.31 c 0.音 【答案】C【难度】0.85【知识点】三角函数在生活中的应用、用定义求向量的数量积 【分析】设0A,O的夹角为0，OA=a,0B=b,可得0=时，(OA·0Bmm=-ab,进而计算可求得m 的值 【详解】设0A,0B的夹角为6，OA=a,OB=b,则OA·OB=OA·|OB cos0=abcost6, 当cos0=-1,即0=ut时，(OA·0Bmm=-ab, 又时针一分钟旋转的角度为始×品×2弧=高 分针一分钟旋转的角度为编×2=品 又经过m分钟，OA,0丽夹角第一次达到，则品m-品m=元 解得m=兽所以经过兽分钟，O·0正的值第一次达到最小 故选：C 【变式1-2(24-25高一下北京顺义期末)设a,b为两个非零向量，则⑦·b>0是“存在实数1>0，使得石=6” 的） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B【难度】0.85【知识点】判断命题的必要不充分条件、已知向量共线（平行）求参数、用定义求向量 的数量积 【分析】由两向量的数量积公式及充要条件的判断即可求解. 【详解】当a·b>0,则a:b=同·b·cos0>0, 得cos0>0,得夹角8∈[0，m), 此时两向量可能共线(0=0)，也可能两向量的夹角为锐角， 故充分性不正确， 当存在实数1>0，使得a=乃，则，两向量的夹角为零，则a·=··cos0=d·>0,故必要 性正确， 则后·b>0是“存在实数1>0，使得石=b的必要而不充分条件， 第5页共32页 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故选：B 【变式1-3】(25-26高一上浙江温州期末)已知平面内的非零向量a,万，则“石·b="是“/乃”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.65【知识点】判断命题的充分不必要条件、平行向量（共线向量）、用定义求向量的数 量积 【分析】根据数量积的定义、向量共线结合充分、必要条件分析判断即可. 【详解】因为a·i=acos(a,可)，且（位，be[0,可， 若a·i=,则cos(位，=1，可得（位，=0， 所以a/乃，即充分性成立： 若a/乃，例如(，=π，则a·=cos(,b=-,即必要性不成立： 综上所述：a石=r是/币的充分不必要条件。 故选：A 【变式1-4】(23-24高一下·浙江·期中)折扇深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机 舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉棚齐编凤翅长”，折扇平面图为下图的扇形0CD,其中∠A0B=120°，OD=4, OB=1,动点P在弧CD上（含端点），连接OP交扇形0AB的弧AB于点Q,且OP=xOC+yOD,则下列说法错 误的是() A.若y=x,则x+y=2 B.AB.P0>-5 C.pApB≥号 D.若y=3x,则0A·OP=0 【答案】D【难度】0.4【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【分析】若y=x,可得OP=x(OC+OD),两边平方可求得x,可判断A;利用AB·PQ=-3AB·OQ≥-3AE. OE,计算可判断B:取AB的中点M,连接PM,PA,PB,利用PA·PE=|PM-AM,计算可判断C:OA,OP= OA·(x0C+3x0D),计算可判断D. 【详解】对于A:若y=x,则可得0P=x(OC+0D,两边平方可得0P2=x2(OC2+20C0D+0D), 所以16=x216+2×4×4×(-)+16),所以x2=1,显然x>0, 所以x=1,所以x+y=2,故A正确： 第6页共32页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 对于B:A丽P0=-3B:00≥3A8:05=-3×V5×号=-是>-5，故B正确 对于C:取AB的中点M,连接PM,PA,PB 则可得PA=PM+MAPB=PM+MB=PM-MA, 在△AB0,易得0M=0B=克所以PM≥子 所以PA:P丽=P财-M≥°-()°=只-：=号故c正确 对于D:若y=3x,0A·0P=0A,(x0C+3x0D)=x(OA·0C+30A.0D=x(4-6)≠0，故D错误. 故选：D. 【点睛】方法点睛：考查数量积的计算，通常数量积的计算可用定义法，坐标法，转化法求解，本题主要 是转化法的应用 【变式1-5】（多选(25-26高一上江苏盐城期中）在△ABC所在的平面内有两点P,Q,满足PA+2PC=0, QA=3QB,且PQ与CB交于点M,AB·AC=8,则下列说法正确的是() A.PB//CQ B.AQ·AP=8 C.QA.QB<0 D.CM=CA+2c可 【答案】ABD【难度】0.65【知识点】平面向量基本定理的应用、用定义求向量的数量积 【分析】依题意，画出图形，再结合选项依次判断即可。 【详解】由PA+2PC=0,及QA=3QB,得如图所示： B 则-号-子得P/@。放A项正确： -=子则A0·A丽=证C=BC=8,故B项正确： 由QA与QB是同向共线的，故QA·QB>0,故C项错误： CM-CB=(CA+AB-CA+×A0-CA+(CQ-CA=CA+CQ,故D项正确. 故选：ABD I变式1-6】(24-25高一下·湖南·期中)如图，已知点G是边长为2a的正六边形ABCDEF内一点（含边界）， 则下列说法正确的是() A.BD-BF=AC B.F屈=A症-BF C.BD.CB=6a2 D.BG·BC的取值范围为[-2a2,6a] 第7页共32页 品学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 【答案】ABD【难度】0.65【知识点】用定义求向量的数量积、用基底表示向量、向量减法的法则 【分析】根据向量的线性运算，判断AB,根据数量积的定义，结合几何图形判断C,根据向量的几何意义， 判断D. 【详解】对于A,因为BD-BF=FD=AC,故A正确， 对于B,因A正-BF=征+F陀)-(B正+=AF+F尼-BE= ×BE+F店-BE=B正+F店-B店=F店，故B正确 对于C,因为BD·CB=-BD·BC=-BD·BCcos-DBC=-23a:2a:cos若=-6a3,故C错误. 对于D,设BG与BC的夹角为0，则BG在BC上的投影为BGcos0,由图可知 当点G在点D时，此时BG在BC上的投影最大，最大值为3a,当点G在点A时，此时BG在BC上的投影最小， 最小值为-a, 所以BGcos0e[-a,3a,即BG,BC的取值范围为[-2a2,6a].故D正确. 故选：ABD 题型02向量数量积的运算 【典例2-1】(23-24高一下.黑龙江哈尔滨，月考)向量a,b满足1a=2,b1=4,向量a与b的夹角为，则a-(d+ b)=() A.0 B.8 c.4+43 D.4-43 【答案】A【难度】0.94【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】应用平面向量的数量积定义及运算律计算求解」 【详解】因为d=2,b1=4,向量a与b的夹角为号 则a-(a+)=a2+a6=+dbx cos号=4+2×4×()=0， 故选：A 【典例2-2(25-26高一上·安徽合肥期末)已知单位向量a,b满足a-2=√7，则向量a与向量的夹角为() A.8 8 C. .号 【答案】D【难度】0.85【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、已知模求数量积 【分析】根据单位向量的概念，利用数量积的定义式以及运算律，建立方程求解即可. 【详解】由单位向量a,3,位-2-V7,可知a=1,=1,反-2-7， 故a-2=(位-2b=同-4a.i+4=5-4a6 设向量与向量的夹角为0，则a-2-5-4.五-5-4 alcose0=5-4cos0, 第8页共32页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以5-4cos0=7,解得cos0=-是由0∈0，m,可知0-音 故选：D. 【典例2-3】（多选)23-24高一下河南周口·月考)关于平面向量，b,c,下列说法不正确的是() A.(a-b)·(a+b=2-b2 B.(a+b).c=a.c+b.c c.若a.b=a.c,且a≠0，则b=c D.(a.bc=ab.c) 【答案】CD【难度】0.94【知识点】平行向量（共线向量）、平面向量数量积的定义及辨析、数量积的运算律 【分析】利用数量积的运算律判断AB:利用数量积推理判断C;由共线向量的意义判断D. 【详解】对于A,由向量的运算法则，得A正确；对于B,向量数量积满足分配律，B正确； 对于C,由a,b=a·c,得a·⑦-©=0，当a1(b-时，满足题设，c错误： 对于D,G·b·c是与c共线的向量，a·⑥·是与d共线的向量，而a与c无任何关系，D错误， 故选：CD 【典例2-4】(25-26高一上福建厦门期末)单位向量a,b满足+b=3,则石·b= 【答案】/0.5【难度】0.85【知识点】已知模求数量积、数量积的运算律 【分析】根据向量数量积的运算律计算即得 【详解】由a+=√3两边取平方，可得1同2+2a·b+d2=3, 因同=而=1，则a:万=号=号 2 故答案为： 【变式2-1】(24-25高一下江苏连云港月考)已知向量a,满足=2，=2，若a与的夹角为5，则 a+=()》 A.1 B.v2 C.23 D.√7 【答案】C【难度】0.94【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】利用向量数量积运算，来求和向量的模即可。 【详解】因为同=2，⑤=2，若a与五的夹角为5所以ab=2×2×cos5=2, 则6+b=√4+2×2+4=2W3, 故选：C 《变式2-2】(25-26高一上北京延庆期末)已知向量石，b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则-的 值为) 4-3-2- -2 第9页共32页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.V2 B.2 C.4W2 D.5V2 【答案】C【难度】0.94【知识点】坐标计算向量的模 【分析】根据图形得出向量的坐标，利用模长的坐标表示可求答案 【详解】由图可知，=(1,2)，万=(-3，-2)，所以a-=(4,4), 所以a-=√42+平=4v2. 故选：C 【变式2-31(25-26高一上浙江台州期末)若非零向量a,的夹角为5，c=a+6,(-可·万=0，则 的值为) A子 B.1 C. D.2/3 3 【答案】A【难度】0.65【知识点】已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】由题意可得.石-，代入可得a+(@-1)=0,运算求解即可. 【详解】由题意可知：a:6=acos号=， 因为=a+同b,则-万=a+(@-1)b, 可得(-·方=(a+(同-1)方i=a·i+(d-1)2=+(@-1)=0, 又因为回≠0，≠0，则回+回-1=0，解得@=子 故选：A 【变式2-4】(24-25高一下黑龙江齐齐哈尔月考)a,,起点重合，回=23，=4<a,万>=，d-习· -c)=0,则的最大值为) A.2W3+1 B.3 c.V13-1 D.V13+1 【答案】D【难度】0.4 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、垂直关系的向量表示、向量与几何最值 【分析】根据数量积公式，可得·b=12,根据求模公式，可得a+b=2V13,根据题意，化简可得cos< 云，ā+方>-品根据-1≤cos<元ā+i>≤1，结合一元二次不等式的解法，即可得答案 2W13d 【详解】由题意立：万=lcos<元6>=2W3×4×受=12， 反+=a2++2a.i=12+16+24=52,则a+=23, 因为a-·6-=0, 所以ab-a:c-b·c+(⊙2=0， 所以@2=G=-12+c.(a+b=-12+·a+bcos<c,a+b>, 所以cos<G,a+万>=+2 213 因为-1≤cos<ca+b>≤1，所以-1≤2品 整理得2-2W13+12≤0且d+2v13+12≥0（恒成立）， 第10页共32页丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1-5向量的数量积讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01向量数量积的概念 1-5向量的数量积 题型02向量数量积的运算 知识点01向量数量积的概念与运算 题型03向量数量积的应用 题型04投影向量 知识点02向量数量积的应用 教学目标、教学重难点 教学目标 理解数量积概念、公式及运算律、掌握向量夹角、模、向量垂直、投影等计算方法， 教学重点 向量数量积的运算，向量夹角、模、向量垂直、投影向量等计算方法 教学难点 向量夹角、模、投影向量 知识清单 知识点01向量数量积概念与运算 1.向量a与b的夹角 已知两个非零向量d和6.作0A=a,0B=五，则∠AoB=(0°≤0≤180)叫做向量a与b的夹角 当0=0°时，a与b同向： 当0=180时，与b反向. 如果a与b的夹角是90°，我们说a与i垂直，记作d1. 2.平面向量的数量积 (1)若a,为非零向量，夹角为0，则a.万=d·cos0. (2)设a=(x1,y),五=(x2,y2),则a·万=x1x2+y1y2 3.平面向量数量积的运算律 (1)a.=万a(交换律)： (2)a·万=1d.万=a·(☑石)（结合律）： (3)G+·=d.+b·c(分配律) 4平面向量数量积运算的常用公式 (1)a+·a-万=@2-而2. (2)a+万2=@2+而2+2a.方=@2++2a.. (3)a-2=@2+⑥2-2a·万=2+-2a.方. ④极化恒等式：a·=[a+可2-a-万] 第1页共12页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (平行四边形模式)a·石-[AC2-DB] 5.常用性质 (1)a.a=l1d或a=√d2 ②-@·≤a·万≤@刷 【即学即练1-1】(24-25高一下…天津月考)若向量a,满足==1，与的夹角为60°，则a·等于() A.是 B.月 c.1+号 D.2 【即学即练1-2】(25-26高一上广东广州·期末)如图所示，已知△ABC中，点P,Q,R依次是边BC上的三个 四等分点，若AP,AR=20,BC=8,则AB·AC=() B.8 C.10 D.12 知识点02向量数量积的应用 1.利用数量积求长度 (1)若a=(x,y),则|d=√a2=a·a=√x2+y2 (2)若Ax1,y),B(x2,y2),则：AB1=√x2-x1)2+2-y1)2 2.利用数量积求夹角：设a,b为非零向量，若a=(x1,y1),b=(x2,y2),8为a,b的夹角， 则c0s6= ab x1x2+y1y2 好+好好+哈 3.向量的投影与投影向量 向在向6上的投影为：回ae0-语 向量a在向量6上的的投影向量为：cos6,三=票.三 同=可厨 4.两个非零向量垂直的充要条件 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 (1)a⊥b台di=0÷x1x2+yy2=0. 【即学即练2-1】(25-26高一上.安徽合肥期末)已知单位向量元，万满足a-2=V7,则向量ā与向量的夹角 为) A,8 B.3 C. D.晋 【即学即练2-2】（多选）24-25高一下·江苏苏州·月考)下列说法正确的是(） A.若a.b=a·t,且a≠0，则b=c 第2页共12页 而学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 B.己知d=6,为单位向量，若<ae>=3,则a在e上的投影向量为-3V2龙 4 C.设元为非零向量，则“存在负数，使得m=是元·元<0”的充分不必要条件 D.若a.b>0,则a与b的夹角是锐角 题型精讲 题型01向量数量积的概念 【典例1-1】(24-25高一下天津.期末)已知△ABC是等边三角形，边长为4，则AB·BC=() A.-8 B.8 c.-4V3 D.-V3 【典例1-2】(24-25高一下北京延庆期中)已知=V3,=2,a.=3,则(，为) A. B. c.号 【典例1-3】（多选24-25高一下·陕西渭南期末）已知向量a,五，c,则下列说法正确的是() A.d:b=0曰d=0或b=0 B.d1b曰db=0 C.命题“若a=d.b,则b=是假命题D.a.b)·c=a⑦ 凰典例1-41(24-25高一下·贵州贵阳·期末)已知等边△ABC的边长为1，CB=d,CA=万，AB=,那么a.b+b: c+c.d= 【变式1-1】(23-24高一下.北京开学考试)记时钟的时针、分针分别为0A、0B(0为两针的旋转中心).从12 点整开始计时，经过m分钟，OA·O的值第一次达到最小时，那么m的值是() A.30 B.31 C.360 11 0. 凰变式1-224-25高一下北京顺义期末)设a,b为两个非零向量，则后·b>0"是“存在实数2>0，使得石=” 的) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【变式1-3】(25-26高一上浙江温州期末)已知平面内的非零向量a,,则后·=是“/"的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 凰变式1-4】(23-24高一下·浙江期中)折扇深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机 舒卷岂寻常：金环并束龙腰细，玉棚齐编凤翅长”折扇平面图为下图的扇形0CD,其中∠A0B=120°，OD=4, OB=1,动点P在弧CD上（含端点），连接OP交扇形0AB的弧AB于点Q,且OP=xOC+yOD,则下列说法错 第3页共12页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 误的是() 0 A.若y=x,则x+y=2 B.AB·P0>-5 C.PA:P丽≥受 D.若y=3x,则OA·OP=0 【变式1-5】（多选25-26高一上·江苏盐城期中）在△ABC所在的平面内有两点P,Q,满足PA+2PC=0, QA=3QB,且PQ与CB交于点M,ABAC=8,则下列说法正确的是() A.PB//CQ B.AQ·AP=8C.QA·QB<0 D.CM-CA+2CQ 【变式1-6】(24-25高一下湖南·期中)如图，已知点G是边长为2a的正六边形ABCDEF内一点（含边界）， 则下列说法正确的是() A.BD-BF=AC B.FE=A正-8F C.BD.CB=6a2 D.BG·BC的取值范围为[-2a2,6a] 题型02向量数量积的运算 〖典例2-1】(23-24高一下.黑龙江哈尔滨月考)向量a,b满足1a=2,b1=4,向量a与b的夹角为？，则a-(a+ b)=() A.0 B.8C.4+4V3 D.4-43 【典例2-21(25-26高一上·安徽合肥期末)已知单位向量d,b满足-2=√7，则向量a与向量的夹角为() A. B.9 C. 0.号 【典例2-3】（多选23-24高一下河南周口月考）关于平面向量石，万，c,下列说法不正确的是() A.(a-·(a+=-2 B.(a+b·c=a.c+b. c.若a.b=a.c,且a≠可，则b= D.(ab)·c=ac) 凰典例2-4】(25-26高一上福建厦门期末)单位向量石，b满足a+b1=V3,则石·b= 第4页共12页 品学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 【变式2-1】(24-25高一下江苏连云港月考)已知向量a,五满足=2，=2，若与的夹角为，则 a+=() A.1 B.V2 c.23 D.√7 凰变式2-2】(25-26高一上北京延庆期末)已知向量a,b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则反-的 值为) -3-2 3 A.V2 B.2 C.4v2 D.5V2 【变式2-3(25-26高一上浙江台州期末)若非零向量a,的夹角为5，c=a+6,(-b·6=0,则 的值为) A B.1 c. . 【变式2-4】(24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔月考)a,,起点重合，@=23，=4<a,万>=，d-)· 6-)=0,则的最大值为) A.2V5+1 B.3 C.V13-1 D.V13+1 【变式2-5】（多选24-25高一下·河北月考）已知向量a,满足=1，=2，它们的夹角为5，则下列向量 中，与向量ā-的模相等的向量有() A.V3d B.B-2a c.26+2) D.3b-d 【变式2-6】(24-25高一下·广东汕头期末)已知向量a,b满足=1，=2，且(3a+可1(2五-)，则 a.b= 题型03向量数量积的应用 【典例3-1】(25-26高一上江苏南通.月考)已知向量石=(1,2)，万=(-2，x),若石1万，则x等于() A.-1 B.1 C.4 D.-4 【典例3-2】(24-25高一下江苏连云港月考)已知向量a,万满足=2，=2，若a与b的夹角为5，则 第5页共12页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 反+=() A.1 B.v2 C.23 D.V7 【典例3-3】（多选24-25高一下甘肃临夏·期末)对于平面向量石，万，下列说法正确的是() A.若a/i.则a.万=0 B.若a·万<0，则a与的夹角为钝角 c.a=(√2，sin0),万=(1,22cos8),则a与i可能垂直 D.若（位+可·(a-可=2-，则=l 【典例3-4】(25-26高一上·江苏无锡·期末)己知向量元，b满足a=(cos6,sin8),b1=2,且a与b的夹角为60°， 则a+26= 【变式31】(23-24高一下四川达州期末)已知向量云=(2,1)，b=(1,-2),则() A.a//b B.aLb c.> D.a+2b=0 凰变式32(25-26高一上.安徽合肥，期末)已知单位向量a,满足后-2=√7，则向量a与向量的夹角为) A. B.9 C. 0. 【变式33】(25-26高一上云南昭通期末)已知向量a,满足=3，=1，a-=V2,则向量a, 的夹角的余弦值为() B.3 3 C. D. 2 【变式3-4】(25-26高一上浙江台州期末)若非零向量a,b的夹角为5，c=a+ab,(心-b·b=0,则 的值为) A B.1 c是 09 〖变式35】（多选）(25-26高一上福建厦门期末)已知向量a=(m,1),b=(-1,m),c=(1,1),则() A.m∈R,a1b B.m∈R,使得a/ C.m∈R,使得a+b+=V3 D.m∈R,使得⑥，=日 【变式36】(25-26高一上浙江温州期末)在△ABC中，AB=AC=4,∠CAB=牙，D,E分别是AB,BC上的动 点，且CD·AE=0,记CD与AE的交点为F,若CF.CD=18,则AE= 第6页共12页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型04投影向量 【典例41】(22-23高一下江苏连云港月考)向量五=(2,4在向量元=(-1,1)上的投影向量为) A.±(-V2,V② B.(-√2，V2 c.(1,-1) D.(-1,1) 【典例42(24-25高一下.湖北黄石期末)已知向量a为单位向量，向量五在a上的投影向量为-2石，则a·乃=() A.-2 B.-1 C.0 D.月 【典例43】（多选）23-24高一下江苏盐城月考)下列说法中正确的是() A.平面向量的一个基底{e,e2}中，ei,e2一定都是非零向量 B.在平面向量基本定理d=1e1+2e2中，若a=0,则21=2=0 C.表示同一平面内所有向量的基底是唯一的 D.若单位向量e,ez的夹角为，则e在e2上的投影向量是-号e2 2e2 凰典例44】(24-25高一下.天津期末)已知为一个单位向量，a与的夹角为60°，若a在e上的投影向量为22， 则d=」 【变式41】(24-25高一下.湖北襄阳期末)已知向量ā满足=V3且单位向量e在a方向上的投影向量为a, 则向量a与的夹角为() A.君 8. C. D. 【变式42】(24-25高一下辽宁.期中)已知向量a,b满足=2W2,(,)=135°，则a在b上的投影的数量 为) A.-4 B.-2 C.-1 D.2 【变式43】(2025江西宜春模拟预测)已知向量a、b满足同=V3,=1,若在上的投影向量为万，则 cos(a,b)=( A号 B.6 4 c.9 D.3 6 【变式44】(2025广东模拟预测)已知向量ā在向量上的投影向量为-三万，=2，则·=() A.-3 B.-月 C. D.3 【变式45】（多选）(24-25高一下.安徽合肥期末)已知△ABC中，BD=2DC,(BC+2AC·AB=0,A=60°， 则下列说法正确的是() 第7页共12页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.AD-AB+AC B.cosB=能 C.cosc= 14 D.AC在AB上的投影向量为AB 【变式46】(24-25高一下…吉林长春期末)己知a,b是夹角为60°的两个单位向量，若向量a+b在向量a上 的投影向量为2a,则入=一 强化训练 一、单选题 1.(24-25高一下浙江杭州期中)已知向量a和向量的夹角为60°，且==1，则石-的值为) A.1 B. C.2 0. 225,26高一上云南昆明期末已知郑是非零向量，则高=膏是口=2“的(） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(25-26高一上北京西城期末)向量，b在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长为 1,则a+26=() A.V5 B.V10 C.5 D.5V2 4.(25-26高一上江苏常州期末)已知非零向量石，万满足(+)·a=0,则向量五在向量a上的投影向量为() A月 B.月 C.-a D.d 5.(24-25高一下福建福州期末)已知向量a,b,满足d=1,b1=2,a-1=√7，则a+b在五方向上的投 影向量是() A.拓 B. c.-拓 第8页共12页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6.(25-26高一上广东广州期末)如图所示，己知△ABC中，点P,Q,R依次是边BC上的三个四等分点，若AP AR=20,BC=8,则AB·AC=() A.6 B.8 C.10 D.12 7.(25-26高一上北京西城期末)在平面直角坐标系xOy中，已知0M|=1,0=V3,M=2,且P(2,V⑤， 则OM+0N-20P的取值范围是() A.[2,8] B.[4,8] C.[2,10] D.[4,10] 8.(23-24高一下江苏徐州，期中)已知平面非零向量a,b满足a·=2a+3,则同·的最小值为(). A.12 B.24 C.18 D.16 二、多选题 9.(24-25高一下·四川泸州·期中)下列叙述中正确的是() A.若a=(-1,2),万=（侵，-1，则a/历 B.若a=b,则3a>2b c.若a/,/,则a/ 0.若粒=(-1,2，则与垂直的单位向量的坐标为(S,或（驾- 10.(25-26高一上河北保定·期末)下列命题正确的是() A.在△ABC中，(BC+B)·AC=AC,则△ABC的形状一定是直角三角形 B.平行四边形ABCD中，若AB+AD=AD-AB引，则四边形ABCD是矩形 C.若A,B,C,D四点在同一条直线上，且AB=CD,则AB=CD D.在△ABc中，若CD=A(圆+) 则P点的轨迹经过△ABC的内心 11.(22-23高一下.辽宁锦州期末)如图，在△ABC中，∠ABC=艺AC=5,F是AC的中点，则下列说法正确 的是() D A.若BC=3,点D在线段BC的延长线上，则AB·AD=16 第9页共12页 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B.若E是线段AB的中点，BF与CE相交于点Q,则A0-BA-BC C.若E是线段AB上一动点，则EA·EB+E为定值 D.若点P在线段AC上，则BP·AP的值可以是-车 三、填空题 12.(25-26高一上·江苏无锡·期末)如图，等边△ABC的边长为1，点D,E分别为AB,BC的中点，连接并延长DE 到点F,使得DE=2EF,则AF·BC=· 13.(2026上海·高考真题)在△ABC中，D、E在边BC上，且BD=DE=EC,AD=1,AD与AE所成的夹角为 牙则AE·AC的最大值为 14.(23-24高一下山东日照.期中)已知平面向量石，b,对任意实数x,y都有a-xb1≥a-,a-y≥1a- 成立.若=2，则b·(心-)的取值范围是。 四、解答题 15.(25-26高一上山东日照期末)已知平面内三个向量元=(1,3)，万=(-1,2)，=(2,1). (1)若a=mb+nd,求实数m,n的值；(2)若a+)/(2b-a),求实数k的值：(3)已知t∈R,求a+t 的最小值. 第10页共12页 1-5 向量的数量积 讲义 教学目标 理解数量积概念、公式及运算律、掌握向量夹角、模、向量垂直、投影等计算方法. 教学重点 向量数量积的运算，向量夹角、模、向量垂直、投影向量等计算方法. 教学难点 向量夹角、模、投影向量. 知识点01 向量数量积概念与运算 1.向量与的夹角 已知两个非零向量和.作，＝，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量与的夹角. 当θ＝0°时，与同向； 当θ＝180°时，与反向. 如果与的夹角是90°，我们说与垂直，记作. 2.平面向量的数量积 (1)若，为非零向量，夹角为θ，则. (2)设，则. 3.平面向量数量积的运算律 (1) (交换律)； (2)λ＝λ()＝ (结合律)； (3) (分配律)． 4.平面向量数量积运算的常用公式 (1) ． (2)． (3)． (4)极化恒等式：； (平行四边形模式) 5.常用性质 (1)或 (2) 【即学即练1-1】(24-25高一下·天津·月考)若向量，满足，与的夹角为60°，则等于(   ) A． B． C． D．2 【答案】A【难度】0.94【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】借助数量积公式计算即可得. 【详解】. 故选：A. 【即学即练1-2】(25-26高一上·广东广州·期末)如图所示，已知中，点依次是边上的三个四等分点，若，则(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】数量积的运算律、平面向量基本定理的应用、向量加法法则的几何应用 【分析】以的中点为核心，通过将所求向量均用及相关的有向线段表示，并利用向量乘积的分配律与平方差公式进行化简，已知结合的长度得到的值，再对向量分解，借助中点性质最终将所求化为的数值计算. 【详解】 ，又为中点，， . 故选：B 知识点02 向量数量积的应用 1.利用数量积求长度 (1)若，则. (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：. 2.利用数量积求夹角：设，为非零向量，若，θ为，的夹角， 则 3.向量的投影与投影向量 向量在向量上的投影为:． 向量在向量上的的投影向量为：. 4.两个非零向量垂直的充要条件 若，则 (1)⊥⇔·＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 【即学即练2-1】(25-26高一上·安徽合肥·期末)已知单位向量满足，则向量与向量的夹角为(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】已知模求数量积、向量夹角的计算、数量积的运算律 【分析】根据单位向量的概念，利用数量积的定义式以及运算律，建立方程求解即可. 【详解】由单位向量，，可知，， 故， 设向量与向量的夹角为，则， 所以，解得， 由，可知， 故选：D. 【即学即练2-2】(多选)(24-25高一下·江苏苏州·月考)下列说法正确的是(    ) A．若，且，则 B．已知为单位向量，若，则在上的投影向量为 C．设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件 D．若，则与的夹角是锐角 【答案】BC【难度】0.94【知识点】数量积的运算律、求投影向量 【分析】利用向量的运算法则可判断A，利用投影向量的求法可判断B，利用数量积的含义可判断C,D. 【详解】因为，所以，即，不一定得出，A不正确； 在上的投影向量为，B正确； 若存在负数，使得，则，若，则， 不能得出“存在负数，使得”，C正确； 若，则，与的夹角不一定是锐角，D不正确. 故选：BC 题型01 向量数量积的概念 【典例1-1】(24-25高一下·天津·期末)已知是等边三角形，边长为4，则(   ) A． B．8 C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】利用向量的数量积的定义求解即可. 【详解】因为是等边三角形，边长为4， 所以. 故选：A. 【典例1-2】(24-25高一下·北京延庆·期中)已知，，，则为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】向量夹角的计算 【分析】代入公式直接计算可得. 【详解】因为，所以 故选：A. 【典例1-3】(多选)(24-25高一下·陕西渭南·期末)已知向量，则下列说法正确的是(   ) A．或 B． C．命题“若，则”是假命题 D． 【答案】BC【难度】0.85【知识点】用定义求向量的数量积、垂直关系的向量表示 【分析】根据向量的数量积公式和性质逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则，可能是，，不一定是或，故A错误； 对于B，若，则，，，反之，若，则，可能是，或或，且零向量和任何向量垂直，故，B正确； 对于C，若，则，可能是，不一定是，故命题“若，则”是假命题，C正确； 对于D，是数量，则表示与共线的向量，是数量，则表示与共线的向量，与不一定共线，则不成立，故D错误. 故选：BC. 【典例1-4】(24-25高一下·贵州贵阳·期末)已知等边的边长为1，，那么 【答案】/【难度】0.85【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】利用是等边三角形得出和，和，和的夹角的度数，即可求出的值. 【详解】由题意，在等边中，边长为1，三个内角都为，， ∴，，， ∴ ， 故答案为： 【变式1-1】(23-24高一下·北京·开学考试)记时钟的时针、分针分别为、(为两针的旋转中心)．从12点整开始计时，经过分钟，的值第一次达到最小时，那么的值是(   ) A．30 B．31 C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】三角函数在生活中的应用、用定义求向量的数量积 【分析】设的夹角为，，可得时，，进而计算可求得的值. 【详解】设的夹角为，，则， 当，即时，， 又时针一分钟旋转的角度为， 分针一分钟旋转的角度为， 又经过分钟，夹角第一次达到，则， 解得，所以经过分钟，的值第一次达到最小. 故选：C. 【变式1-2】(24-25高一下·北京顺义·期末)设，为两个非零向量，则“”是“存在实数，使得”的(   ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【难度】0.85【知识点】判断命题的必要不充分条件、已知向量共线(平行)求参数、用定义求向量的数量积 【分析】由两向量的数量积公式及充要条件的判断即可求解． 【详解】当，则， 得，得夹角， 此时两向量可能共线()，也可能两向量的夹角为锐角， 故充分性不正确， 当存在实数，使得，则，两向量的夹角为零，则，故必要性正确， 则“”是“存在实数，使得”的必要而不充分条件， 故选：B 【变式1-3】(25-26高一上·浙江温州·期末)已知平面内的非零向量，则“”是“”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【难度】0.65【知识点】判断命题的充分不必要条件、平行向量(共线向量)、用定义求向量的数量积 【分析】根据数量积的定义、向量共线结合充分、必要条件分析判断即可. 【详解】因为，且， 若，则，可得， 所以，即充分性成立； 若，例如，则，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式1-4】(23-24高一下·浙江·期中)折扇深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉棚齐编凤翅长”.折扇平面图为下图的扇形，其中，，，动点在弧上(含端点)，连接交扇形的弧于点，且，则下列说法错误的是(    ) A．若，则 B． C． D．若，则 【答案】D【难度】0.4【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【分析】若，可得，两边平方可求得，可判断A；利用，计算可判断B；取的中点，连接，利用，计算可判断C；，计算可判断D. 【详解】对于A：若，则可得，两边平方可得， 所以，所以，显然， 所以，所以，故A正确； 对于B：，故B正确 对于C：取的中点，连接， 则可得， 在，易得，所以， 所以，故C正确 对于D：若，，故D错误. 故选：D. 【点睛】方法点睛：考查数量积的计算，通常数量积的计算可用定义法，坐标法，转化法求解，本题主要是转化法的应用. 【变式1-5】(多选)(25-26高一上·江苏盐城·期中)在所在的平面内有两点P，Q，满足，，且与交于点M，，则下列说法正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】ABD【难度】0.65【知识点】平面向量基本定理的应用、用定义求向量的数量积 【分析】依题意，画出图形，再结合选项依次判断即可． 【详解】由，及，得如图所示：    则，得，故A项正确； 由，则，故B项正确； 由与是同向共线的，故，故C项错误； ，故D项正确． 故选：ABD 【变式1-6】(24-25高一下·湖南·期中)如图，已知点G是边长为2a的正六边形ABCDEF内一点(含边界)，则下列说法正确的是(   ) A． B． C． D．的取值范围为 【答案】ABD【难度】0.65【知识点】用定义求向量的数量积、用基底表示向量、向量减法的法则 【分析】根据向量的线性运算，判断AB，根据数量积的定义，结合几何图形判断C，根据向量的几何意义，判断D. 【详解】对于A，因为，故A正确． 对于B，因为 ，故B正确． 对于C，因为，故C错误． 对于D，设与的夹角为θ，则在上的投影为，由图可知 当点在点时，此时在上的投影最大，最大值为，当点在点时，此时在上的投影最小，最小值为， 所以，即的取值范围为．故D正确． 故选：ABD 题型02 向量数量积的运算 【典例2-1】(23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考)向量满足，向量与的夹角为，则(    ) A．0 B．8 C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】应用平面向量的数量积定义及运算律计算求解. 【详解】因为，向量与的夹角为， 则. 故选：A. 【典例2-2】(25-26高一上·安徽合肥·期末)已知单位向量满足，则向量与向量的夹角为(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、已知模求数量积 【分析】根据单位向量的概念，利用数量积的定义式以及运算律，建立方程求解即可. 【详解】由单位向量，，可知，， 故， 设向量与向量的夹角为，则， 所以，解得，由，可知， 故选：D. 【典例2-3】(多选)(23-24高一下·河南周口·月考)关于平面向量，，，下列说法不正确的是(    ) A． B． C．若，且，则 D． 【答案】CD【难度】0.94【知识点】平行向量(共线向量)、平面向量数量积的定义及辨析、数量积的运算律 【分析】利用数量积的运算律判断AB；利用数量积推理判断C；由共线向量的意义判断D. 【详解】对于A，由向量的运算法则，得A正确；对于B，向量数量积满足分配律，B正确； 对于C，由，得，当时，满足题设，C错误； 对于D，是与共线的向量，是与共线的向量，而与无任何关系，D错误. 故选：CD 【典例2-4】(25-26高一上·福建厦门·期末)单位向量 满足，则 【答案】/0.5【难度】0.85【知识点】已知模求数量积、数量积的运算律 【分析】根据向量数量积的运算律计算即得. 【详解】由两边取平方，可得， 因，则. 故答案为：. 【变式2-1】(24-25高一下·江苏连云港·月考)已知向量，满足，，若与的夹角为，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】利用向量数量积运算，来求和向量的模即可. 【详解】因为，，若与的夹角为，所以， 则， 故选：C. 【变式2-2】(25-26高一上·北京延庆·期末)已知向量，在平面直角坐标系中的位置如图所示，则的值为(    )．    A． B．2 C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】坐标计算向量的模 【分析】根据图形得出向量的坐标，利用模长的坐标表示可求答案. 【详解】由图可知，，，所以， 所以. 故选：C 【变式2-3】(25-26高一上·浙江台州·期末)若非零向量，的夹角为，，，则的值为(   ) A． B．1 C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】由题意可得，代入可得，运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 因为，则， 可得， 又因为，则，解得. 故选：A. 【变式2-4】(24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考)起点重合，，则的最大值为(   ) A． B．3 C． D． 【答案】D【难度】0.4 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、垂直关系的向量表示、向量与几何最值 【分析】根据数量积公式，可得，根据求模公式，可得，根据题意，化简可得，根据，结合一元二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】由题意， ，则， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 整理得且(恒成立)， 解得，即的最大值为. 故选：D 【变式2-5】(多选)(24-25高一下·河北·月考)已知向量满足，它们的夹角为，则下列向量中，与向量的模相等的向量有(    ) A． B． C． D． 【答案】AC【难度】0.94【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】分别求解题干和选项中向量的模长可得答案. 【详解】因为，夹角为，所以,. 对于A，，A正确； 对于B，,B不正确； 对于C，,C正确； 对于D，，D不正确. 故选：AC 【变式2-6】(24-25高一下·广东汕头·期末)已知向量，满足，，且，则 . 【答案】【难度】0.94【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】根据向量垂直的数量积表示，求出向量的数量积即可. 【详解】由得，， 化简得，因为，， 所以，解得. 故答案为：. 题型03 向量数量积的应用 【典例3-1】(25-26高一上·江苏南通·月考)已知向量，若，则等于(   ) A． B．1 C．4 D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】利用向量垂直求参数 【分析】利用两个垂直向量的数量积为零，再结合向量数量积的坐标运算法则计算即可得出答案． 【详解】由，可得， 所以由，解得． 故选：B. 【典例3-2】(24-25高一下·江苏连云港·月考)已知向量，满足，，若与的夹角为，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】利用向量数量积运算，来求和向量的模即可. 【详解】因为，，若与的夹角为，所以， 则， 故选：C. 【典例3-3】(多选)(24-25高一下·甘肃临夏·期末)对于平面向量，下列说法正确的是(   ) A．若．则 B．若，则与的夹角为钝角 C．，则与可能垂直 D．若，则 【答案】CD【难度】0.85【知识点】向量垂直的坐标表示、数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【分析】对于A，利用等价于判断；对于B，利用向量数量积的定义判断；对于C，利用向量垂直的坐标计算，结合三角函数的性质判断；对于D，由向量数量积的运算律计算即可判断. 【详解】对于A，因等价于，由显然得不到，故A错误； 对于B，由可得与的夹角为钝角或平角，故B错误； 对于C，由可得，当时成立，此时与垂直，故C正确； 对于D，由，可得，即得，故D正确. 故选：CD. 【典例3-4】(25-26高一上·江苏无锡·期末)已知向量满足，且与的夹角为，则 . 【答案】【难度】0.65【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、已知模求数量积 【分析】根据平面向量的数量积公式得出，再把模长转化为数量积计算求值. 【详解】因为向量满足，则， 又与的夹角为， 所以， 则. 故答案为：. 【变式3-1】(23-24高一下·四川达州·期末)已知向量，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】根据题意，由向量平行与垂直的坐标表示可判断AB；计算出模长判断C；线性坐标运算得，即可判断D． 【详解】对于A，，不平行，故A错误； 对于B， ，，故B正确； 对于C，，则，故C错误； 对于D，，故D错误． 故选：B． 【变式3-2】(25-26高一上·安徽合肥·期末)已知单位向量满足，则向量与向量的夹角为(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、已知模求数量积 【分析】根据单位向量的概念，利用数量积的定义式以及运算律，建立方程求解即可. 【详解】由单位向量，，可知，， 故， 设向量与向量的夹角为，则， 所以，解得，由，可知， 故选：D. 【变式3-3】(25-26高一上·云南昭通·期末)已知向量，满足，，，则向量，的夹角的余弦值为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】向量夹角的计算 【分析】利用向量夹角的余弦公式求解即可. 【详解】，，，，所以， 故选：A． 【变式3-4】(25-26高一上·浙江台州·期末)若非零向量，的夹角为，，，则的值为(   ) A． B．1 C． D． 【答案】A【难度】0.65【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】由题意可得，代入可得，运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 因为，则， 可得， 又因为，则，解得. 故选：A. 【变式3-5】(多选)(25-26高一上·福建厦门·期末)已知向量，，，则(   ) A． B．，使得 C．，使得 D．，使得 【答案】ABC【难度】0.65 【知识点】由向量共线(平行)求参数、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】对A，根据条件，利用向量垂直的坐标表示，即可求解；对B，根据条件，利用向量共线的坐标表示，即可求解；对C，根据条件，利用向量的模长计算公式，即可求解；对D，根据条件，利用向量夹角的坐标表示，即可求解. 【详解】对于A，因为，，所以，则，故A正确， 对于B，因为，，若，则，即，所以，使得，故B正确， 对于C，因为，所以， 由，整理得，解得， 所以，使得，故C正确， 对于D，因为，若，则， 解得，不合题意，所以不存在，使，故D错误， 故选：ABC. 【变式3-6】(25-26高一上·浙江温州·期末)在中，，分别是上的动点，且，记CD与AE的交点为，若，则 ． 【答案】【难度】0.4【知识点】由向量线性运算结果求参数、向量垂直的坐标表示、利用平面向量基本定理求参数、利用坐标求向量的模 【分析】以为原点，设，由，得到，再设和，求得，设，由，求得，得到，化简得到，求得，得到，得出向量的坐标，结合模的计算公式，即可求解. 【详解】以为坐标原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，因为，可得， 因为是上的动点，设，其中，则， 又因为是上的动点，且，则， 设，可得，解得， 即，所以， 由，可得，解得， 设，可得， 所以，解得，所以， 设，可得， 所以，所以， 所以， 且 ， 即，所以， 将代入，整理得， 因为，设，则， 又因为，可得， 将代入，整理得， 再将代入上式，可得， 即，所以，解得， 将代入，可得，所以， 则，所以的长为. 故答案为：. 题型04 投影向量 【典例4-1】(22-23高一下·江苏连云港·月考)向量在向量上的投影向量为(　　) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】求投影向量 【分析】先计算，再利用公式计算即可. 【详解】由题意得， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：D 【典例4-2】(24-25高一下·湖北黄石·期末)已知向量为单位向量，向量在上的投影向量为，则(   ) A． B． C．0 D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】求投影向量 【分析】结合题意，由投影向量的计算公式可得. 【详解】由题意可得向量在上的投影向量为，所以， 又向量为单位向量，所以. 故选：A. 【典例4-3】(多选)(23-24高一下·江苏盐城·月考)下列说法中正确的是(    ) A．平面向量的一个基底中，一定都是非零向量 B．在平面向量基本定理中，若，则 C．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的 D．若单位向量的夹角为，则在上的投影向量是 【答案】ABD【难度】0.94【知识点】求投影向量、利用平面向量基本定理求参数、基底的概念及辨析 【分析】根据基底定义可判断AC；由平面向量基本定理可判断B；根据投影向量公式直接计算可判断D. 【详解】对于A，根据平面向量基底定义可知，不共线，所以一定都是非零向量，A正确； 对于B，若 ，且在平面向量基本定理中不共线，所以，B正确； 对于C，只要是平面内不共线的两个向量都可作为基底，C错误； 对于D，因为，所以在上的投影向量为，D正确. 故选：ABD 【典例4-4】(24-25高一下·天津·期末)已知为一个单位向量，与的夹角为，若在上的投影向量为，则 ． 【答案】4【难度】0.94【知识点】求投影向量 【分析】根据投影向量公式代入即可求解. 【详解】 为一个单位向量，. 与的夹角为，且在上的投影向量为. .，即. 故答案为：4 【变式4-1】(24-25高一下·湖北襄阳·期末)已知向量满足且单位向量在方向上的投影向量为，则向量与的夹角为(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】向量夹角的计算、求投影向量 【分析】结合题意，由投影向量的计算公式可得. 【详解】因为在方向上的投影向量为，所以， 可得，即； 因为，为单位向量，所以，所以. 故选：A． 【变式4-2】(24-25高一下·辽宁·期中)已知向量，满足，，则在上的投影的数量为(   ) A． B． C． D．2 【答案】B【难度】0.94【知识点】求投影向量 【分析】利用投影数量的定义来求解即可. 【详解】由题得在上的投影的数量为. 故选：B 【变式4-3】(2025·江西宜春·模拟预测)已知向量、满足，，若在上的投影向量为，则(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】求投影向量 【分析】利用投影向量的定义可得出的值. 【详解】由题意可知在上的投影向量为，故. 故选：D. 【变式4-4】(2025·广东·模拟预测)已知向量在向量上的投影向量为，，则(   ) A． B． C． D．3 【答案】A【难度】0.65【知识点】用定义求向量的数量积、求投影向量 【分析】应用平面向量的投影向量结合数量积公式计算求解. 【详解】因为，所以． 故选：A． 【变式4-5】(多选)(24-25高一下·安徽合肥·期末)已知中，，则下列说法正确的是(    ) A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】ABC【难度】0.65【知识点】求投影向量、用基底表示向量、向量的线性运算的几何应用 【分析】根据向量的线性关系化简判断A，再应用图形特征计算判断B，C，应用投影向量定义计算判断D. 【详解】中，，则，所以，A正确； 延长至E使，连接， 因为，则，不妨设，则， ， 由余弦定理得，所以B正确； ，C正确； 过作，交于，，所以在上的投影向量，D错误. 故选：ABC. 【变式4-6】(24-25高一下·吉林长春·期末)已知，是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则 . 【答案】2【难度】0.65【知识点】用定义求向量的数量积、求投影向量 【分析】由投影向量计算公式，结合数量积的运算律计算即得. 【详解】由题意可得向量在向量上的投影向量为， 则得，解得. 故答案为：. 一、单选题 1.(24-25高一下·浙江杭州·期中)已知向量和向量的夹角为，且，则的值为(    ) A．1 B． C．2 D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】已知数量积求模、用定义求向量的数量积 【分析】根据向量的数量积可求的值. 【详解】, 故选：A. 2.(25-26高一上·云南昆明·期末)已知都是非零向量，则“”是“”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、平面向量线性运算的坐标表示、向量模的坐标表示 【分析】先得到若，则，再举出反例可得充分性不成立，得到答案. 【详解】若，则，必要性成立， 若，不妨设， 则，满足，但，充分性不成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3.(25-26高一上·北京西城·期末)向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长为1，则(   )    A． B． C．5 D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】利用坐标求向量的模 【分析】根据题意，建立直角坐标系，再计算模长即可． 【详解】如图，以的起点为原点建立直角坐标系，    则，， ， ． 故选：B． 4.(25-26高一上·江苏常州·期末)已知非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】数量积的运算律、求投影向量 【分析】化简得到，利用投影向量的公式进行求解. 【详解】因为，所以，化简得， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 5.(24-25高一下·福建福州·期末)已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】数量积的运算律、求投影向量 【分析】根据条件并结合模长求出，最后代入投影向量公式求解. 【详解】由，得，即， 将，代入上式可得：，即， 根据投影向量的计算公式，在方向上的投影向量为， 则. 故选：B. 6.(25-26高一上·广东广州·期末)如图所示，已知中，点依次是边上的三个四等分点，若，则(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】向量加法法则的几何应用、平面向量基本定理的应用、数量积的运算律 【分析】以的中点为核心，通过将所求向量均用及相关的有向线段表示，并利用向量乘积的分配律与平方差公式进行化简，已知结合的长度得到的值，再对向量分解，借助中点性质最终将所求化为的数值计算. 【详解】 ，又为中点，， . 故选：B 7.(25-26高一上·北京西城·期末)在平面直角坐标系xOy中，已知，，，且，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.4【知识点】数量积的运算律、数量积的坐标表示、向量模的坐标表示、由向量线性运算解决最值和范围问题 【分析】利用向量的数量积的运算公式，求得，设，得到，求得的坐标，根据向量的坐标运算，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】由，，， 因为，可得， 即，所以，所以， 设，因为，可得， 又因为，可得， 则， 可得 ， 令，可得， 则，其中， 因为， 当时，取得最大值，最大值为； 当时，取得最小值，最小值为； 所以的取值范围为. 故选：B. 8.(23-24高一下·江苏徐州·期中)已知平面非零向量，满足，则的最小值为(    )． A．12 B．24 C．18 D．16 【答案】B【难度】0.15【知识点】基本(均值)不等式的应用、数量积的运算律、用定义求向量的数量积、由cosx(型)函数的值域(最值)求参数 【分析】将已知式左右分别平方，展开整理后，运用基本不等式将其化成能成立问题，即要求的最小值，通过换元，将其化成二次函数，求其在上的最小值即得. 【详解】设向量，的夹角为，则由两边取平方可得，， 即， 可整理为：(*)， 因，是非零向量，故，当且仅当时取等号， 不妨设，代入(*)化简得，， 显然，当时，不等式不成立，只需能成立即可， 令，因，故， 则，故，取， 依题意要求函数的最小值，因在递增，则， 故，即的最小值为24，此时，同方向且满足. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键在于通过已知式两边平方整理后，对的处理，合理方法为运用基本不等式，将方程化成只含有与的不等式，从而可以利用余弦函数的有界性求得的最小值.二、多选题 9.(24-25高一下·四川泸州·期中)下列叙述中正确的是(   ) A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则与垂直的单位向量的坐标为或 【答案】AD【难度】0.85 【知识点】向量垂直的坐标表示、平行向量(共线向量)、零向量与单位向量、平面向量的概念与表示 【分析】根据共线向量基本定理可判断A；根据向量的定义可判断B；当时，可判断C；根据单位向量的定义和向量垂直的充要条件可判断D． 【详解】对于A，因，则，故A正确； 对于B，因向量有方向，不能比较大小，故B错误； 对于C，当时，对任意向量满足，，但得不出，故C错误； 对于D，设与垂直的单位向量的坐标为，则：， 解得或，故D正确． 故选：AD． 10.(25-26高一上·河北保定·期末)下列命题正确的是(   ) A．在中，，则的形状一定是直角三角形 B．平行四边形中，若，则四边形是矩形 C．若，，，四点在同一条直线上，且，则 D．在中，若，则点的轨迹经过的内心 【答案】ABD【难度】0.4 【知识点】向量加法法则的几何应用、三角形的心的向量表示、数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】对AB，根据向量数量积的运算律即可判断；对C，举出反例即可判断；对D，根据向量加法的几何意义即可判断. 【详解】对于A，由，可得， 所以，所以，所以， 所以，所以是直角三角形，故A正确； 对于B，由可得， 所以，所以， 所以，所以四边形是矩形，故选项B正确； 对于C，依题意如图， 但，故C错误； 对于D，根据向量加法的几何意义知，以和为邻边的平行四边形为菱形， 点在该菱形的对角线上，由菱形的对角线平分一组对角，故点的轨迹经过的内心，故D正确. 故选：ABD. 11.(22-23高一下·辽宁锦州·期末)如图，在中，，，F是AC的中点，则下列说法正确的是(    )    A．若，点D在线段BC的延长线上，则 B．若E是线段AB的中点，BF与CE相交于点Q，则 C．若E是线段AB上一动点，则为定值 D．若点P在线段AC上，则的值可以是 【答案】AC【难度】0.15【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、数量积的运算律 【分析】以为基底，按题中要求表示出相关的向量，用数量积的公式计算即可． 【详解】对选项A，在中，，，若， 则，则，故A正确． 对选项B，在中，，，是的中点， 且是的中点，与相交于点，   令，则， ； 令，则． 所以 ， 即，故B不正确； 对选项C，在中，，，是的中点， 设，,，则， ， ， (定值)，故C正确； 对选项D，在中，，，则， 若点P在线段AC上，设，    所以, , 则 令，可得， 所以，当且仅当时，等号成立， 从而，又在中与题意矛盾，故D不正确. 故选：AC． 三、填空题 12.(25-26高一上·江苏无锡·期末)如图，等边的边长为1，点分别为的中点，连接并延长到点，使得，则 . 【答案】/0.125【难度】0.65【知识点】用基底表示向量、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】以为基底，将表示出来，从而求得数量积. 【详解】因为点D，E分别是边AB，BC的中点，所以， 因为，所以， 所以. 因为，，， 所以 . 故答案为： 13.(2026·上海·高考真题)在中，、在边上，且，，与所成的夹角为，则的最大值为 . 【答案】【难度】0.4【知识点】数量积的运算律 【分析】先利用与表示、 ，再将转化为与的计算，进而求解. 【详解】 , 与所成的夹角为 令，则 当时，的最大值为. 故答案为：. 14.(23-24高一下·山东日照·期中)已知平面向量对任意实数都有，成立．若，则的取值范围是 ． 【答案】【难度】0.15【知识点】求含sinx(型)的二次式的最值、用定义求向量的数量积、平面向量数量积的几何意义 【分析】设,由题意可得，点在以为直径的圆上，设圆心为，作出图形，过点作，交于点，交圆于点，结合图形，推得在上的射影长的最大值为，通过设，将的最大值表示成关于的三角函数式，利用三角函数的值域即可求得范围. 【详解】 如图，设,则, 因对任意实数都有，成立， 即对任意实数都有，成立， 因与共线，与共线，由直线外一点到直线上的点连线中垂线段最短原则，知必有，, 即点在以为直径的圆上，设圆心为. 则，而为向量在上的射影的长. 过点作，交于点，交圆于点，因则， 则在上的射影即在上的射影，而由图知在上的射影长的最大值为，(当重合时取得最大值)， 则, 不妨设,则 于是，， 因，则，而， 即的最大值为， 当C与O重合，B与A重合时，均取到最大值2，， 此时取得最小值. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查向量数量积的范围问题，属于难题. 解题的关键在于两点：其一，由题设两个不等式得出，其二，求解时，应利用向量数量积的几何意义—投影向量，结合图形理解并转化求解. 四、解答题 15.(25-26高一上·山东日照·期末)已知平面内三个向量，，. (1)若，求实数，的值；(2)若，求实数的值；(3)已知，求的最小值. 【答案】(1)；(2)；(3).【难度】0.85【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算结果求参数、由向量共线(平行)求参数、坐标计算向量的模 【分析】(1)根据平面向量线性运算的坐标表示得到方程组，解得即可； (2)求出、的坐标，根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； (3)表示出，利用坐标法计算，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】(1)，又，，， 即， ，解得. (2)因为，， 又， ，即，解得. (3)因为， 所以， 所以当时，取最小值. 16.(25-26高一上·湖南长沙·期末)已知平面向量与的夹角为，且. (1)求；(2)若与垂直，求的值. 【答案】(1)；(2)【难度】0.85【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】(1)利用向量数量积的定义及运算律，结合模长公式即可求解； (2)根据向量垂直可得，再结合向量数量积的运算律和公式，即可求解. 【详解】(1)由题意，得， 则. (2)因为与垂直， 所以， 即，解得. 17.(25-26高一上·江苏南通·月考)在平面直角坐标系中，已知． (1)若为轴上的一动点，点．当三点共线时，求点的坐标； (2)若为直线OA的一动点，求的最小值及此时P的坐标； (3)若，且与的夹角，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3)【难度】0.65 【知识点】由向量共线(平行)求参数、数量积的坐标表示、基本不等式求和的最小值 【分析】(1)设，根据题意，可得坐标，根据三点共线，可得与共线，根据向量共线的坐标运算，即可求得答案； (2)转化为二次函数最小值即可求解； (3)根据题意，求得坐标，根据题意可得恒成立，可得恒成立，令，利用换元法，可得恒成立，结合对勾函数的性质，即可得答案． 【详解】(1)设，则， 所以， 因为与共线，所以，解得， 所以当三点共线时，点的坐标为； (2)由题可知，， 因为P为直线的一动点，所以设点， 则， 当时，， 此时P点坐标为； (3)因为，所以， 所以； 因为与的夹角，所以恒成立， 所以， 又因为，所以， 所以， 即恒成立， 又因为，所以恒成立， 令，则， 换元可得， 因为，当且仅当时等号成立， 所以当时，有最小值5， 所以的取值范围是： 18.(23-24高一下·云南昆明·期中)设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：试求解下列问题： (1)已知向量满足，，，求的值； (2)①若，，用坐标，，，表示； ②在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； (3)已知向量，，，求的最小值. 【答案】(1)2；(2)①，②7；(3)9【难度】0.4 【知识点】向量新定义、基本不等式“1”的妙用求最值、数量积的坐标表示、向量夹角的计算 【分析】(1)根据数量积可求解余弦值，根据同角关系可求解正弦值，进而根据定义即可求解. (2)①根据数量积的坐标运算求解夹角，进而根据同角关系可求解正弦值，进而根据定义即可求解，②直接利用①的结论，即可代入求解得解. (3)直接利用(2)的结论，结合基本不等式即可求解最值. 【详解】(1)由，可得，则， 由于，因此，其中为的夹角， 故； (2)①由，，可得， 结合，故， 故， ②由，，可得， 故 (3)由,，结合(2)的结论可知： ， 当且仅当，等号成立，结合，故时取到等号， 因此的最小值为9. 19.(24-25高一下·北京西城·期中)对于一组向量(且)，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“1向量”. (1)设，若是向量组的“1向量”，求实数的取值范围； (2)若，则向量组是否存在“1向量”?若存在，求出“1向量”；若不存在，请说明理由； (3)已知均是向量组的“1向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列且)满足：为坐标原点，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最大值. 【答案】(1)；(2)存在，；(3)12144【难度】0.15 【知识点】向量新定义、向量模的坐标表示、数量积的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】(1)根据向量坐标模长公式以及已知的向量关系列出不等式求解. (2)法1：先判定向量组以4为周期，进而，然后根据“1向量”验证判断即可；法2：先求出向量模长，再根据“1向量”的定义列出不等式，结合三角函数的值域求解. (3)根据“1向量”的定义及数量积的运算律得，同理，，相加变形得，则，设，由条件列式变形得，从而将问题转化为的最大值问题，结合二倍角正弦公式利用正弦函数性质求解即可. 【详解】(1)由题意，，. ， ， ，化简得：, 的范围是. (2)法1： ，， ，，，… 向量组以4为周期. ， ，不是该向量组的“1向量”； ，是该向量组的“1向量”； ，不是该向量组的“1向量”； ，不是该向量组的“1向量”； 存在“1向量”，“1向量”为. 法2：由题意可得， 因为， 所以向量组以4为周期， 若存在“1向量”，只需使， 又， 所以， 故只需使 ，即， 当时，符合要求， 故存在“1向量”，且“1向量”为； (3)由题意，，即， ， 同理，， 上述三式相加，得：， ， 又. ， 设，则依题意得， 得， 故， ， 所以， ， 当，即时，，， . 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $