1.5.2 数量积的坐标表示及其计算（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

1．5.2　数量积的坐标表示及其计算(强基课—梯度进阶式教学) 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会根据向量的坐标形式求数量积、模、夹角． 2．掌握向量垂直条件的坐标形式，并能灵活运用．　3.会利用数量积计算长度与角度． 平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有 坐标表示 数量积 a·b＝x1x2＋y1y2 向量的长度 |a|＝或|a|2＝x＋y 夹角的余弦值 cos θ＝＝ 垂直条件 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0 两点间距离公式 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则||＝ 微点助解 (1)公式a·b＝|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角)与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，两者可以相互推导． 在求两向量的数量积时，若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|·cos θ(θ为a与b的夹角)求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解． (2)向量的模的坐标运算的实质 向量的模即向量的长度，其大小为平面直角坐标系中两点间的距离，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，所以||＝，即||为A，B两点间的距离．由此可知，向量的模的坐标运算的实质为平面直角坐标系中两点间的距离的运算． (3)与向量a同向的单位向量的坐标表示 因为与向量a同向的单位向量a0＝，若a＝(x，y)，则|a|＝，所以a0＝＝(x，y)＝，此式为与向量a＝(x，y)同向的单位向量的坐标表示． (4)由于向量b＝(x2，y2)在向量a＝(x1，y1)上的投影长为|b||cos θ|＝，从而向量b在向量a上的投影长的坐标表示为. [基点训练] 1．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是(　 ) A．23 B．7 C．－23 D．－7 解析：选D　a·b＝(－3,4)·(5,2)＝－3×5＋4×2＝－7. 2．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝(　 ) A．12 B．0 C．－3 D．－11 解析：选C　∵a＋2b＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3. 3．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为________． 解析：因为a·b＝3×5＋4×12＝63，|a|＝＝5，|b|＝＝13，所以a与b夹角的余弦值为＝＝. 答案： 题型(一)　平面向量数量积的坐标运算 [典例1]　(1)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则·＝________； (2)已知向量a和b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求： ①向量a的坐标； ②若c＝(2，－1)，求(a·c)·b. [解析]　 (1)建立平面直角坐标系如图所示，则A(0,2)，E(2,1)，D(2，2)，B(0,0)，C(2,0)． 因为＝2，所以F. 所以＝(2,1)，＝－(2,0)＝. 所以·＝(2,1)· ＝2×＋1×2＝. [答案]　 (2)①设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)． 因为a·b＝10，所以λ×1＋2λ×2＝5λ＝10， 解得λ＝2.所以a＝(2,4)． ②(a·c)·b＝[2×2＋4×(－1)]·b＝0·b＝0. [方法技巧] 数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算律和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算． (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标即可求解．　　 [针对训练] 1．已知点P(2,4)，Q(1,6)，向量＝(2，λ)，若·＝0，则实数λ的值为(　 ) A. B．－ C．2 D．1 解析：选D　由P(2,4)，Q(1,6)可得＝(－1,2)，又＝(2，λ)，所以·＝－2＋2λ＝0，解得λ＝1.故选D. 2．矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E，F分别为BC，DC的中点，则·＝(　 ) A．4 B．6 C．8 D．10 解析：选B　建立如图所示的平面直角坐标系，因为矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E，F分别为BC，DC的中点，所以A(0,0)，B(2，0)，E(2,2)，F(1,4)，则＝(2,2)，＝(－1,4)，所以·＝6. 题型(二)　平面向量的夹角及垂直 [典例2]　(1)若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于(　 ) A．－ B． C. D． (2)(2022·新课标Ⅱ卷)已知向